2020 Fiscal Year Research-status Report
リーマン面の正則写像の研究――把手条件の拡張と応用
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18K03334
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
増本 誠 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50173761)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴 雅和 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 名誉教授 (70025469)
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
増本 周平 香川高等専門学校, 一般教育科(詫間キャンパス), 助教 (30803861)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | リーマン面 / 等角写像 / 閉接続 / ２次微分 / 自己溶接 / 擬等角写像 / タイヒミュラー空間 / イオフェ半直線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Ｒを正種数ｇの位相的に有限な開リーマン面とする。Ｒを等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面全体のなす集合Ｍ(Ｒ)をタイヒミュラー空間の枠組みで調べる研究が一段落した。同種数であるが同相ではないリーマン面の集合を統一的に扱うために，種数ｇの向きづけられた閉曲面Σを固定する。そして，種数ｇのリーマン面ＳとＳからΣの中への向きを保つ同相写像ηの組の同値類[Ｓ，η]を対象とし，種数ｇのリーマン面間の連続写像の同値類を射とする圏Ｆを導入した。その上で，種数ｇのタイヒミュラー空間Ｔを，閉リーマン面が定める対象全体からなるＦの充満部分圏と位置づけた。これにより理論の透明性が格段に上がった。複素多様体でもあるＴの部分集合Ｍ(Ｒ)について，(1) Ｔから６ｇー６次元ユークリッド空間の上への同相写像でＭ(Ｒ)を閉球または１点に写すものが存在すること，(2) １点に退化しない場合，Ｍ(Ｒ)はリプシッツ閉領域であるが境界は必ずしも滑らかではないこと，(3) Ｍ(Ｒ)を極値的長さ関数の等高面の包絡面として記述できること，(4) Ｍ(Ｒ)はタイヒミュラー距離に関して近接凸型であること，などを示した。また，Ｒ上の正則２次微分を用いて得られる自己溶接接続と名付けた等角的埋め込みを導入し，それらを使ってＭ(Ｒ)の境界を特徴付けた。種数が１の場合とは対照的に，種数が１より大きい場合には，Ｍ(Ｒ)の境界点への等角的埋め込みの一意性が成立しない例がある。一意性が成立するための十分条件も与えた。一方，Ｍ(Ｒ)の内点への等角的埋め込みの一意性が決して成立しないことも示した。
その他に，増本周平は，距離構造の商であってバナッハ空間の射影極限の概念と両立しうるものを考え，有界な場合に２つの商の間の距離を測る方法について検討した。また，中村は，種数６の向き付け不可能な極値的曲面の自己同型群を求める方法を再考した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナ禍のため，予定していた中国での国際研究集会が開催できなかった。さらに，学科長として多忙を極めたため，研究のための時間を思うように確保できなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
Ｍ(Ｒ)が興味深い性質を持っていることが判明してきた。それの多変数複素関数論的な性質を調べたい。また，Ｍ(Ｒ)の境界についてはかなりのことが分かってきたが，内部については解明されていないことが多く，それを調べることも重要である。さらに，これまでの結果を応用して，位相的に有限で互いに同相な開リーマン面の一方から他方の中への等角的埋め込みが存在するための条件について調べることが把手条件を拡張するための次の段階である。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため，中国で開催することを計画していた国際研究集会が延期になったのを筆頭に，学会などがすべてオンライン開催や中止に追い込まれたため，旅費を使用することができなかった。延期になった国際研究集会を令和３年度，場合によっては研究期間を１年間延長して令和４年度に中国で開催する。コロナ禍が落ち着くまでは効果的なオンライン会議のための機器の整備をし，コロナ禍が落ち着いたらより深い議論が可能な対面の研究打合せのための旅費に使用する。
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