2021 Fiscal Year Annual Research Report
Cyclic vectors in analytic Hilbert spaces
| Project/Area Number |
18K03335
|
|---|
| Research Institution | Yamaguchi University |
|---|
Principal Investigator |
泉池 耕平 山口大学, 教育学部, 准教授 (90451434)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | 正則関数 / ヒルベルト空間 / 巡回ベクトル / ハーディ空間 / 不変部分空間 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，正則関数からなるヒルベルト空間の巡回ベクトルについて研究を行い，それらの特徴付けを行うことを主な目的としている。巡回ベクトルについての研究は不変部分空間の研究と密接関係し，不変部分空間，ヒルベルト空間そのものの構造を知る上で重要なものである。
（１）整関数からなるバナッハ空間の巡回ベクトルについて研究を行った。それらの空間は一般的な体積測度に荷重を載せた測度によってノルムが定義され，ベルグマン空間と似た構造をもつ。これまでに荷重が比較的に減少が緩やかな関数で表現される空間について，その巡回性を特徴付けているが，それをもとにより強く減少する関数を荷重にもつ空間の巡回ベクトルについて考察した。より強く減少する関数を荷重にもつ空間の巡回ベクトルは、単位円板上で定義されるベルグマン空間により近い状態であることがわかったが、巡回ベクトルは複雑なものとなり、特徴付けを得るには至らなかった。
（２）多重円板上のハーディ空間の関数は多重円周上の関数と同一視できる。そのため，多重単位円周上の関数として考察を行った。1変数のときは外部関数すべてが巡回ベクトルであったが，多変数の場合は外部関数でも巡回ベクトルではない場合が存在することが知られている。具体的に見るため，2変数の場合について研究を行ってきた。これまでに2重円周上で満たすべきいくつかの性質を得ているが，それ以上大きな進展がなかったため，２変数ハーディ空間の不変部分空間についての研究を行った。2変数ハーディ空間の不変部分空間の構造の解明は，『ヒルベルト空間とその上の有界作用素に関して，すべての関数が巡回ベクトルとなる場合はあるか』という問題に直結することが明らかにされており，重要なテーマの一つである。その中で，ある形の不変部分空間のランクについての研究を行い，そのランクについて特徴付けを行った。この結果は現在投稿中である。
|
