2019 Fiscal Year Research-status Report
Development of stochastic differential geometry associated with sub-Laplacians
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18K03336
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
谷口 説男 九州大学, 基幹教育院, 教授 (70155208)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | サブリーマン多様体 / サブラプラシアン / マリアバン微分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1)サブリーマン多様体上のサブラプラシアンに対応する熱核を確率解析的手法で証明する際に用いるマリアバン・コバリアンスの非退化性の証明において，より一般的な「他のWiener汎関数による制約条件下での非退化性」という概念を導入し，多様体上でのマリアバン解析の展開に新しい局面を開いた．これにより，イールズ・エルウォーシー・マリアバンの手法によりサブリーマン多様体の構造を決定するベクトル束上の確率微分方程式の解の射影として得られるサブラプラシアンに付随する拡散過程の推移確率密度関数(熱核)の存在と滑らかさについてより統一的に証明する手法を確立した．
2)確率微分方程式のマリアバン微分可能性の証明をより簡便かつ明瞭に扱える論法を見出し，これまで「同様に証明できる」として詳しく証明されていなかった高階の微分可能性についても厳密な証明を確立した．これに際し，確率微分方程式が定める確率流のマリアバン微分可能性についても明らかにした．
3)ディラック測度の集中点への依存の超関数としての滑らかさがウィナー汎関数とディラック測度の合成に伝搬することの証明においてBochner積分が用いられていたことを再考し，ウィナー汎関数に関する部分積分の公式を超ウィナー汎関数にまで広げることでより簡明で初等的な証明を与えることに成功した．この手法は昨年度の成果であるグルーシン作用素の研究において得ていた着想をより一般化したものである．この形での熱核の具体表現に依り，短時間漸近展開を議論することが可能になった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多様体上でのマリアバン解析，さらに確率微分方程式の解と確率流について新たな展開を得た．また，熱核の滑らかさの証明に新たな手法を開発した．
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| Strategy for Future Research Activity |
1）グルーシン作用素に付随する熱核の期待値積分を用いた具体表現を利用して，サブラプラシアンとして性質が変化するx=0という軸における熱核の短時間漸近挙動の様子を明らかにする．
2）equi-regularなサブリーマン多様体上のサブラプラシアンに付随する熱核の局所的な表示を，サブラプラシアンを決定する局所直交枠を用いた座標系を利用して具体的に与えることを，CR-多様体の場合を参考に，検証する．カルノー群がどのように寄与するかを解明する．
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