Development of stochastic differential geometry associated with sub-Laplacians

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03336
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 谷口 説男 九州大学, 基幹教育院, 教授 (70155208)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 熱核 / 2次Wiener汎関数 / グルーシン作用素

Outline of Annual Research Achievements

b(t)をブラウン運動とし，Ito型確率積分∫〈δ(t)b(t), db(t)〉と時間に関するルベーグ積分∫〈γ(t)b(t),b(t)〉dtの和としてあらわされる2次Wiener汎関数Qに対して，Qとδ，γから定まる2階線型常微分方程式とが，Wiener空間上の線形変換を通じて1対1対応をしていることを明らかにした．本研究では，与えられたQに対し，2階線型常微分方程式の解を用いて指数関数exp(λQ)の期待値E[exp(λQ)]が具体的に求められることを既に得ており，それを用いて，サブリーマン多様体の典型例であるカルノー群の熱核を，双曲線関数を用いて具体的に表現していた．しかし，そのような常微分方程式が出現するメカニズムは明らかでなく，QにIto解析を適用において2階線型常微分方程式の解が上手く機能するというレベルでの理解であった．これをWiener空間上の線形変換という視点から整備し直し，線形変換b(t)→b(t)+∫χ(s)b(s)dsの一つの側面が2次Wiener汎関数Q（正確には指数型Wiener汎関数exp(λQ)），もう一つの側面が2階線型常微分方程式という構造を明らかにできた．
一般のパラメータをもつグルーシン作用素の短時間漸近展開について，バラダン型の極限値の導出に成功した．これを踏まえ，高階の展開について考察を拡げた．しかし，条件付き期待値を用いた期待値表現に現れるWiener汎関数の時間に関する高階微分不可能性により，展開オーダーの制限について考察を続けている．