厳密なくりこみ群による，低温相からの臨界現象の解明

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03337
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 原 隆 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20228620)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: くりこみ群 / 臨界現象 / 低温相 / phi4乗モデル

Outline of Annual Research Achievements

臨界現象の解明は，統計力学の数理的研究における大きな研究テーマの一つである．1970年代に「くりこみ群」のアイディアが 物理学者によって確立されてからほぼ10年で，その数学的に厳密な研究の一端が完成した．特に，「高温相」から臨界点に近づ く際の臨界現象については，膨大な計算の結果として，ある程度満足の行く解析結果が得られた．ところが，系がその低温相側から臨界点に近づく場合の臨界現象は，これまでほとんど解明されないままになっている．最近の 手法の発展でも，この未解決部分は実質的に避けられたままであり，低温相側からの臨界現象の解明は，臨界現象の数学的解析 の中での，大きな未知のフロンティアとなっている．本研究では，厳密くりこみ群の手法を大きく発展させて，この最後のフロンティアを開拓することを主目的とする．特にイジン グ模型および関連するφ4模型における低温相からの臨界現象の解明をめざしている．

これまでに内外の専門家と深く議論し，どのようなアプローチが可能か，それらの内包する困難は何か，などを探ってきた．その結果として，当初に想定していたアプローチは，方向としては正しいという感触を得てきている．ただし，その議論の中で，（当初から予想していたことではあるが）いくつかの困難も当然，指摘された．現在，これらの困難を解決すべく，ある程度簡単な例にたいして，様々な計算を行っているところで，これからの一年で目安をつけたいと考えている．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

昨年の９月と１０月，イギリスのCambridgeおよびアメリカのPrincetonで開催された国際会議（とそれに続く中期プログラム）に参加し，この分野の専門家とかなり突っ込んだ議論を行った．
その結果，この分野の現在の状況を十分に的確に把握することが出来た．また，どのようなアプローチが可能かについても，現時点での状況に基づき，ある程度の計画を立てることが出来た．この意味で，研究は順調であると言える．
ただし，これからが正念場で，これまで世界の誰もが成し遂げていなかった手法を開発する必要が生じている，ある程度の目算はあり，日々挑戦中ではあるが，いつ頃までに突破口が開けるのか，現時点では確実に予測することは難しい．

Strategy for Future Research Activity

これまでに得られた知見を元に，現在行っている解析を推し進め，突破口を開くのが最大の目的である．
そのため，ソフトなphi4乗モデルに関して，様々な方法での解析を行う，特に，「低温相におけるクラスター展開の収束性」と，「くりこみ群によって低温相のどこまで踏み込めるか」の関わりが本質的であるため，クラスター展開とくりこみ群解析を並行して練磨することを目的とする．
また，「磁場入り，臨界点直上」の系ではどのようになっているのかを深く考察し，目的の系に関する知見を得たい．

Causes of Carryover

今年度は，この研究に関して，Cambridge, Princeton を歴訪し，多くの議論を経て有益な知見を得ることが出来た．元々はその第2弾としての海外や国内における議論（研究打ち合わせ）を計画していたが，今回の歴訪結果を噛み締めて一定の研究時間をとることが先決であると判断し，第2弾の海外出張は見送った．その代わり，本研究の2年目に新たに海外および国内での活発な議論を予定している．また数値計算によっての研究支援も必要なので，このための経費も本研究の2年目以降のために残したい．これらの事情から，翌年度分は（1）海外出張を含む議論のための費用，（2）数値計算による計算支援のための費用，として使う計画である．