Geometric analysis on metrics of the moduli of punctured Riemann surfaces

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03338
• Research Institution: Kagoshima University
• Principal Investigator: 小櫃 邦夫 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (00325763)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 愛甲 正 鹿児島大学, 理工学域理学系, 教授 (00192831) ; 近藤 剛史 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60467446)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: リーマン面 / Eisenstein級数 / ケーラー計量 / 漸近展開

Outline of Annual Research Achievements

今年度も引き続き, 尖点付きリーマン面上の2つ(または同一の)尖点の周りに指定したホロサイクルh1, h2間の双曲距離d(h1,h2)を指数関数の肩に乗せたPennerの座標をと呼ばれるものの局所的性質を調べる試みをした. 私の導いたPenner座標の1回変分公式について, G.Mondello氏と議論したところ, 非調和比を用いて公式を表示することが出来れば応用に繋がることに気づき, その方向性を検討し続けている. また, X.Zhu氏と点付きリーマン面のタイヒミュラー空間上のTakhtajan-Zograf計量の境界漸近挙動について, お互いの研究の進展について議論した.
代表者はTakhtajan-Zograf計量の境界挙動は有限和であるという予想を立てているが, その予想の根拠が, 有限型リーマン面の退化は有限回の過程で終わるためであると考えている. 2018年のX.Zhu氏とR.Melrose氏の共同研究の手法が参考になると思われるので, 彼らの漸近解析的アプローチと双曲幾何学的なアプローチの両面から解決の糸口を探っていて, これは次年度も引き続き研究目標にしていく. 一方で, Takhtajan-Zograf計量のモジュライ空間の漸近挙動についての論文は執筆を進めており, あと1ヶ月後くらいに書き上げる予定である. 内容は以前,Weng氏とTo氏との共同研究の結果を改良することができたことをまとめたものである.