Study on Weyl group invariant multivariate elliptic hypergeometric functions

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03339
• Research Institution: University of the Ryukyus
• Principal Investigator: 伊藤 雅彦 琉球大学, 理学部, 教授 (30348461)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 多変数超幾何関数 / 楕円超幾何積分 / ワイル群 / q-差分方程式 / Lagrange補間関数

Outline of Annual Research Achievements

最終年度である2022年度においては、例外型ルート系に対応するマクドナルド多項式を固有関数にもつ可換な高階差分作用素の族を構成する目的で、計算機を使うことにより、マクドナルド多項式を生成した。特に例外型ルート系F4の場合にマクドナルド多項式を扱った。既知の例外型ルート系G2の場合を参考に、F4型の場合のマクドナルド多項式を2通りの方法で生成した。その結果、具体的なマクドナルド多項式を低次の方から順に600項まで求め、可換な高階差分作用素の族を具体的に構成するための下準備ができた。
研究期間全体を通じて実施した研究の成果を振り返ると、連携研究者・野海正俊との共同研究で楕円超幾何関数に付随する「補間関数」を定義し、「補間関数」の楕円超幾何級数および楕円超幾何積分への応用を行ったことが主な成果である。「補間関数」を通して、q-超幾何級数に対する古典的なSears－Slaterの変換公式が、q-差分方程式の解の接続問題として捉えられるだけでなく、そのAn型、BCn型への拡張および楕円化が可能となった。特にBCn型の楕円超幾何積分に関する行列式公式は、本研究の大きな成果の1つである。また古典型にかぎらず、例外型のG2型に対しても「補間関数」の導入を試み、この定義はまだ確定していないものの、応用として5パラメータのG2型楕円超幾何積分の無限積表示ついての公式が得られた。この結果は、Spiridonov－Vartanov による数理物理の超対称量子場理論における電磁双対性（予想）の特別な場合に証明を与えている。