2018 Fiscal Year Research-status Report
１階偏微分方程式系のスペクトル解析の新展開：ディラック、マックスウェルを超えて
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18K03340
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| Research Institution | University of Hyogo |
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Principal Investigator |
楳田 登美男 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (20160319)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山岸 弘幸 東京都立産業技術高等専門学校, ものづくり工学科, 准教授 (10448053)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Dirac 方程式 / Maxwell 方程式 / スペクトル / １階偏微分方程式系 / 極限吸収原理 / 平滑化評価式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、新しいクラスの１階偏微分方程式系に対して、極限吸収原理、スペクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式を導くことである。本研究で取り扱う１階偏微分方程式系は、これまでのスペクトル解析学では論じられたことのないクラスであり、上に述べた３つの目的のいずれか一つでも成功すれば、十分な成果になるものと考えている。Dirac 方程式、Maxwell 方程式の双方の一般化となる一階偏微分方程式系になっている点が本研究のポイントであり、この観点から、本研究の初年度である2018年度は、Dirac 方程式、Maxwell 方程式の両方の過去のスペクトル解析の研究論文を見直し、本研究の考察対象が妥当な新クラスであることを確認した。その上で、Dirac 方程式の解に対して、平滑化評価式の導出を試みた。Dirac 作用素に対する極限吸収原理そのものは1970年代に見出されており、いまとなっては新しい成果ではないが、以前の研究では平滑化評価式に繋がらない形であった。そこで、本研究では、スペクトル関数の評価に基づいて極限吸収原理を確立し、そこから、さらにスペクトル測度、スペクトル密度へと研究を進め、平滑化評価式導出への道筋をつけた。
本研究の重要性は、物理的背景も数学的な形式においても、まったく異なる２つの１階偏微分方程式系であるDirac 方程式、Maxwell 方程式の両方の一般化になっている点、および低階項を含んでいる点にある。この２つの重要なポイントを含む統一理論を目指しているところに、本研究の斬新性、独自性がある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Dirac 作用素に対する極限吸収原理そのものは1970年代に見出されており、いまとなっては新しい成果ではないが、以前の研究では平滑化評価式に繋がらない形であった。実際、平滑化評価式の研究はおよそ４半世紀前からの歴史であり、1970年代には平滑化評価式そのものが存在しなかった。そこで、本年度研究では、極限吸収原理を見直し、さらにスペクトル測度、スペクトル密度へと研究を進め、平滑化評価式導出への道筋をつけた。しかしながら、Dirac 方程式に対する従前の極限吸収原理の見直し作業に予想以上の時間がかかってしまい、Maxwell 方程式に対する既存のスペクトル散乱理論の見直しに十分な時間を割くことができなかった。結果的に、本研究の申請段階ですでに成功していた Dirac 作用素に対する極限吸収原理の最終確認 (詰めの作業) と、スペクトル密度関数の ヘルダー連続性に関する成果の最終確認終えたが、Dirac 作用素に対する平滑化評価式の最終確認には至らなかった。当初の予定では、初年度中に、Dirac 作用素に関する最終確認は終えて、Maxwell 作用素に作業に取り掛かるはずであったが、実際には Maxwell 作用素には取り掛かっていない。この点で、残念ながら「(3) やや遅れている」と判断せざるを得なかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは Dirac 方程式に対する平滑化評価式を導く議論 (証明) が完全なものであることを確認する。これが完了し次第、Maxwell 方程式に対する従前の極限吸収原理を見直し、そこで得られた知見をもとに、平滑化評価式の導出に繋がる形で、スペクトル測度、スペクトル密度へと研究を進めたい。
この準備作業を終えて、つぎにMaxwell 方程式に対する平滑化評価式の導出に取り組む予定である。
以上の作業を次年度中 (2019年度中) に終えることができれば、2020年度には一般の定数係数強伝播系の１階偏微分方程式系のスペクトル解析に取り組みたい。もちろん、Dirac 方程式、Maxwell 方程式の両方の一般化となっているような１階偏微分方程式系を研究するが、このような型の１階偏微分方程式系は全く新しいものであり、既存の研究成果がなく、手探りでの研究作業になるものと見込んでいる。空間変数が一般次元の場合には複雑すぎることも予想され、空間次元が 2 の場合からのスタートになる可能性があると考えている。それが成功すれば、空間 3 次元、一般の空間次元へと研究を進められることを期待している。あるいは、空間次元を上げることを後回しにして、実質的には空間次元は 2 のままで、高次元の考察に繋がる形になる定数係数等方的１階偏微分方程式系を論じるのも、悪くない選択であると考えている。
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| Causes of Carryover |
当該年度は研究代表者(楳田)の定年退職年度の為に極度に多忙であった。そのため、予定していた海外出張の一部、国内出張の一部ができなくなってしまった。
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