2020 Fiscal Year Research-status Report
１階偏微分方程式系のスペクトル解析の新展開：ディラック、マックスウェルを超えて
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18K03340
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| Research Institution | University of Hyogo |
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Principal Investigator |
楳田 登美男 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 特任教授 (20160319)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山岸 弘幸 東京都立産業技術高等専門学校, ものづくり工学科, 准教授 (10448053)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Dirac 方程式 / Maxwell 方程式 / １階偏微分方程式系 / 極限吸収原理 / 平滑化評価式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、新しいクラスの1階偏微分方程式系に対して、極限吸収原理、スペクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式を導くことである。本研究で取り扱う1階偏微分方程式系は、これまでのスペクトル解析学では論じられたことのないクラスであり、その故に、上に述べた3つの目的のいずれか一つでも導出に成功すれば、十分な成果になるものと考えている。Dirac方程式、Maxwell方程式の両方の一般化となる1階偏微分方程式系を考察する点が、本研究のポイントであり、この観点から、本研究の初年度である２０１８年度は、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方のスぺクトル解析の過去の研究論文を見直し、本研究の考察対象が１階偏微分方程式系の新しいクラスであることを確認した。これに基づいて、２０１９年度は、Dirac方程式の解に対して平滑化評価式の導出の研究に歩を進めて成功した。Dirac作用素に対する極限吸収原理そのものは１９７０年代に見出されており、現在では新しい成果ではないが、従前の研究では平滑化評価式に繋がらない形の極限吸収原理であった。そこで、本研究では異なるアプローチを採用した、すなわち、Dirac作用素のスぺクトル関数の評価に基づいて極限吸収原理を確立し、さらにスペクトル測度、スペクトル密度へと研究を進め、最終的にDirac方程式の解に対する平滑化評価式を導出した。２０２０年度はMaxwell方程式に対しても、本研究の手法が通用することを確認し、Maxwell方程式に対しても極限吸収原理、スペクトル測度の表示、スペクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式に関する成果をあげた。
本研究は全く異なる2種の1階偏微分方程式系であるDirac方程式、Maxwell方程式の両方を包含する統一理論を目指すところに斬新性、独自性があると考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Dirac作用素に対する極限吸収原理そのものは１９７０年代に見出されており、いまとなっては目新しい研究成果ではないが、当時の研究は平滑化評価式に繋がらないものであった。実際、平滑化評価式の研究はおよそ4半世紀前に始まったものであって、１９７０年代には平滑化評価式そのものが知られていなかった。このような状況を受けて、本年度研究では、２０１８年度に従前のDirac作用素、Maxwell作用素それぞれに固有の極限吸収原理の手法を見直し、２０１９年度には別の一般的手法でDirac作用素に対する極限吸収原理を確立し、さらにスペクトル測度、スペクトル密度関数へと研究を進めて、最終的に平滑化評価式を導いた。
２０２０年度にはMaxwell方程式に対する既存のスぺクトル散乱理論についても全般的に見直した。 結果的に、本研究の申請段階で既に概ね成功していたDirac作用素に対する極限吸収原理の最終確認、 及びスペクトル密度関数のヘルダー連続性に関する成果の最終確認に繋がったものの、数学的に不完全な部分が一部分に残っていることが判明した。この部分は、偶然のきっかけから突破口が開け、Dirac方程式の解に対する平滑化評価式の証明を完全なものにすることに成功した。 また、Dirac方程式に対する手法、アイディアは少しの修正でMaxwell方程式に対しても有効であることが判明した。その結果、Maxwell方程式に対して、極限吸収原理、スペクトル測度、スペクトル密度の表示、及び平滑化評価式に関する成果をあげることができた。このような理由で、『おおむね順調に進展している』と評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
２０１９年度は、Dirac方程式に対する極限吸収原理から始めて、平滑化評価式までを導くことに成功した。その過程の議論、手法をMaxwell方程式に対する研究の観点から振り返って、２０２０年度には、Maxwell方程式に対しても、極限吸収原理から平滑化評価式までに至る一連の成果を導くことに成功した。以上の過程で、本研究の手法、アイディアが、異なる２種類の1階偏微分方程式系に適用可能と見込まれることが判明した。言い換えると、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方を包含するようなタイプの一般の定数係数強伝播型1階偏微分方程式系に対しても、２０１９年度、２０２０年度に展開したようなスぺクトル解析の研究展開が見込めそうである。 このような型の1階偏微分方程式系は全く新しい研究対象であり、もちろん既存の研究成果が存在しない。したがって、手探りの研究作業になる可能性が高いであろう。Dirac方程式、Maxwell方程式はともに３次元空間における方程式であるので、これらの方程式に有効な手法を一般の空間次元の定数係数強伝播型1階偏微分方程式系に適用するには、一般論特有の曖昧さに起因する困難が予想される。複雑すぎる状況が現れる可能性も否定できない。そのような状況に陥った場合には、一時退却して、空間次元=2の場合から始めるのも一案であろうと考えている。もし空間次元=2の場合で成功すれば、空間次元=3に進めるであろう。過去の経験から、空間３次元の場合を突破すれば、一般の空間次元の研究に繋がることが多い。万が一、このストーリー展開が破綻した場合には、定数係数強伝播型の攻略は止めて、すこし特殊ではあるが、定数係数等方的1階偏微分方程式系に対して、スペクトル理論を展開するかもしれない。
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| Causes of Carryover |
本研究では、支出のほどんどを占めるのは旅費である。しかし、２０２０年度はコロナ感染症蔓延のために、海外はおろか、国内出張もできなかった。また、２０２１年3月に主催予定であった国際研究集会「偏微分方程式姫路研究集会」もオンラインでの開催となり、招聘予定であったオーストラリアからの研究者への招聘費用も不要になった。
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