2018 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of hypergeometric equations using various transformations
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18K03341
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| Research Institution | Josai University |
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Principal Investigator |
大島 利雄 城西大学, 理学部, 客員教授 (50011721)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 国際研究交流 / 超幾何微分方程式 / 多変数超幾何関数 / 接続問題 / middle convolution / 普遍開折 / 不確定特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Riemann球面上の不分岐不確定特異点をもつ線形常微分方程式に対し，リジッド指数を保ったままFuchs型線型微分方程式の特異点を変数とする系の中に埋め込むという普遍開折を定義し，その存在の予想を定式化した．さらにアクセサリー・パラメータが存在しないリジッドな場合などを含んで予想が正しいことをversal additionとmiddle convolutionという2つの変換を用いて示した．これにより，リジッドな場合は，接続問題や解の積分表示など解析的性質がよく分かっているFuchs型の場合の自然な合流として不分岐不確定特異点をもつ方程式が具体的に得られ，不確定特異点をも持つ場合の接続問題や積分表示について，一般的な解析への道が開けた．
特異点を4点以上持つリジッドなFuchs型線形常微分方程式は，自然に多変数のKnizhnik-Zamolodchikov方程式に拡張されるが，不分岐不確定特異点をもつリジッド線形常微分方程式は，普遍開折まで拡張した多変数のKnizhnik-Zamolodchikov方程式に埋め込めることが分かった．このようにして多変数の不確定特異点型超幾何微分方程式の一般的構成と合流過程が統一的に扱えるようになった．最も簡単な場合には，AppellのF1, F2, F3, F4の種々の合流型超幾何の多変数超幾何微分方程式が得られる．
普遍開折上に，多変数化も含めて middle convolution が自然に作用することが分かり，解の接続問題や漸近展開にどのような変換を引き起こすかが計算可能となった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
単独高階で確定特異点と不分岐不確定特異点を許す線形微分方程式の普遍開折の定義と，それに対するversal additionとmiddle convolutionの変換を具体的に記述した．これにより，リジッドな場合などに普遍開折の存在証明が得られた．
リジッドなFuchs型常微分方程式の半局所モノドロミーの代数的計算公式を与えた．これによりリジッドで不分岐不確定特異点を持つ線型微分方程式の不確定特異点における局所モノドロミーも得られた．
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| Strategy for Future Research Activity |
リジッドなFuchs型方程式を元に扱える多変数のKnizhnik-Zamolodchikov方程式や普遍開折には多くの興味ある具体例が含まれるので，多くの例について接続問題や解の表示について具体的な結果を得ると共に，一般論として得られる結果の定式化を求めていく．特に不確定特異点の場合のストークス係数や多変数超幾何とmiddle convolutionとの関連を調べる．
複雑な具体的計算を効率的に行うため，数式処理言語 Risa/Asir 上のプログラムを開発していくと共に，そのマニュアルを整備し，公開する．
複素領域の微分方程式の研究を行っている熊本大の原岡氏，千葉大の廣惠氏などと最新の研究情報を交換して必要に応じて共同研究を行い，アクセサリー・パラメータ研究会を主催し，国内外の関連分野の集会への出席・講演などによって研究に必要な情報を得る．
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| Causes of Carryover |
参加を予定していた3月開催の2つの研究集会の日程が重なり，一方の数式処理関連の研究集会に参加が出来なかったため．欠席した研究集会はその後の発展を含めた内容で翌年度に再度開催されるため，それへの参加を予定している．
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