2019 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of hypergeometric equations using various transformations
| Project/Area Number |
18K03341
|
|---|
| Research Institution | Josai University |
|---|
Principal Investigator |
大島 利雄 城西大学, 理学部, 客員教授 (50011721)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 国際研究交流 / 超幾何微分方程式 / 多変数超幾何関数 / 接続問題 / middle convolution / 普遍開折 / 不確定特異点 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
Riemann球面上の不分岐不確定特異点をもつ線形常微分方程式に対し，リジッド指数を保ったままFuchs型線型微分方程式の特異点を変数とする系の中に解析的に埋め込むという普遍開折を，単独高階の場合のみならずPfaff系の場合にも定義し，その存在予想を定式化した．さらにアクセサリー・パラメータが存在しないリジッドな場合などを含んで予想が正しいことをPfaff系のversal additionとmiddle convolutionという2つの変換を用いて示した．
これにより，リジッドな場合は，接続問題や解の積分表示など解析的性質がよく分かっているFuchs型の場合の自然な合流として不分岐不確定特異点をもつ方程式が具体的に得られ，不確定特異点をも持つ場合の接続問題や積分表示について，一般的な解析への道が開けた．
特異点を4点以上持つリジッドなFuchs型線形常微分方程式は，自然に多変数のKnizhnik-Zamolodchikov方程式に拡張されるが，不分岐不確定特異点をもつリジッド線形常微分方程式は，普遍開折まで拡張した多変数のKnizhnik-Zamolodchikov方程式に埋め込めることが分かったので，Pfaff系の場合の結果を論文にまとめた．最も簡単な場合には，AppellのF1, F2, F3, F4の種々の合流型超幾何の多変数超幾何微分方程式が得られる．また，ガウスの超幾何微分方程式の解のモノドロミ―群の特徴づけを初等的に与えた．
カオス系を含む代数的な一階の非線形常微分方程式について，解を数十桁の高い精度で高速計算するTaylor法を開発し，解の爆発現象も高い精度での計算への道を開いた．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度は単独高階を主に扱ったが，今年度はPfaff系の場合に，確定特異点と不分岐不確定特異点を許す線形微分方程式の普遍開折の定義と，それに対するversal additionとmiddle convolutionの変換を具体的に記述した．rigidな場合は，合流型の多変数超幾何とその普遍開析に解析的に拡張されることを示し，古典的なAppellの超幾何とその合流などを含んで，統一的な解析が可能になった．
これら基礎的部分の理論が完成したので，論文にまとめて発表するとともに，これらを具体的に計算する数式処理プログラムを作成して公開した．
さらにカオス系を含む常微分方程式系の高精度高速数値計算を行う数式処理プログラムを作成し，公開した．これは当初計画にない新しい展開である．
清水氏との共著で，Gaussの超幾何微分方程式の解のモノドロミ―群について，その特徴づけを初等的かつ具体的に与えた．
|
| Strategy for Future Research Activity |
理論的成果の応用として，AppellのF4の高階化とその合流など，いくつかの興味深い例について，接続問題や漸近展開について計算して具体的結果を得るとともに，一般的な現象についての解析を行う．さらにこれらを計算する数式処理のプログラムの計画を立てる．
また，非線形常微分方程式の高速高精度計算のアルゴリズムにおいて，爆発解の解析で旨くいかない場合が残っているので，それを修正していくとともに，複素領域の場合にも適用可能なので，それも開発していく．
理論的部分についてては，熊本大の研究者との研究交流を行い，また金沢大での集会においては，数式処理プログラム上の問題点の議論を進めてそれを解消していく予定である．
|
| Causes of Carryover |
3月に計画してい熊本大，広島大や金沢大での研究集会がCOVID-19の影響で中止になった．翌年度に共同研究も含め，実施の予定である．
|
