2020 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of hypergeometric equations using various transformations
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18K03341
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| Research Institution | Josai University |
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Principal Investigator |
大島 利雄 城西大学, 理学部, 客員教授 (50011721)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 超幾何微分方程式 / 多変数超幾何関数 / 不確定特異点 / 接続問題 / middle convolution / カオス系 / 数式処理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Riemann球面上の不分岐不確定特異点をもつリジッドなPfaff系常微分方程式に対し，その普遍開折が存在することが，Pfaff系のversal additionとmiddle convolutionという2つの変換を導入することによって，前年までの研究で示されていた．この middle convolution で定まる留数行列は，極を含む有理式の有限和で得られていたが，和には特異点がないことが分かっていた．今回，その和を多項式の形で明示的に与える公式を得ることができた．これにより多くの例で具体的な計算が可能になった．
この方程式の解を不確定特異点の近くに接続していったときの漸近挙動とmiddle convolutionや合流との間に成り立ついくつかの関係が分かり，得られた結果の意味がより明らかになった．
任意の既約なリジッドFuchs型Pfaff系は，自明な方程式から構成され，それはRiemann schemeから一意に定まるが，その方程式のスペクトルパラメータを方程式が可約となる点まで解析接続すると，その点での構造が構成法の違いによって同型ではなくなることがある．Gaussの超幾何にあたる場合に，この現象を解析し，大域的な同型類の構造を明らかにした．このような解析は，具体的に接続問題などを考察するときに必要である．
オンライン講義に関連したネットワークの通信速度の遅延に関連して，それをモデル化した関数積分方程式を得た．その一般解は分からないが，解の漸近的挙動について基本的な結果を得て，数値計算から推測される結果の証明を与えた．
数式処理を用いた解析によって，今まで計算に成功していなかった多くのカオス力学系の単独高階化を得ることが出来た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の主要研究テーマである複素領域での線型微分方程式の解の接続問題や漸近展開の解析において，middle convolutionと多変数化を用いる方法で，具体例の計算とその一般化の研究を進めているが，Pfaff系の場合に生じる非一意性の解析やmiddle convolutionと合流との関係の解析が明らかになり，研究の進展が期待できる．
middle convolutionによる留数行列の変換の明示公式が得られたことも重要な進展で, 今後の研究において必要な計算の簡略化が期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
middle convolutionに対応する正則関数の変換はRiemann-Liouville積分で与えられるが，その結果の関数が特異点に近づいたときの漸近挙動についての統一的結果を論文にまとめる．
留数行列の変換の明示公式をうまく使って，多変数化の計算例の重要例をいくつか計算し，上程式の変換についての理論的一般化を目指す．
また，複素領域における非線形常微分方程式の数値解析においてもTaylor法による高速高精度計算のライブラリの作成を進め，具体的な問題に適用できるようにする．
カオス力学系の単独高階化の問題は，数式処理のアルゴリズム研究のよい例となるので，より複雑な例の計算を試みる．
理論的部分については，熊本大の研究者との研究交流を行い，また金沢大での集会においては，数式処理プログラム上の問題点の議論を進めていく予定である．
2020年3月に計画していた熊本大，広島大や金沢大での研究集会がCOVID-19の影響で中止になった．今後は可能な方法を模索しながら研究交流による情報収集や共同研究を続けていく計画である．
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| Causes of Carryover |
2020年3月に計画していた熊本大，広島大や金沢大での研究集会がCOVID-19の影響で中止になったのをはじめとして，それら以降の多くの研究集会や学会での会合が中止となった．
今後は可能な方法を模索しながらオンラインを含めた研究交流による情報収集や共同研究を不十分であった部分も含めて続けていく計画である．
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