2021 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of hypergeometric equations using various transformations
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18K03341
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| Research Institution | Josai University |
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Principal Investigator |
大島 利雄 城西大学, 数理・データサイエンスセンター, 所長 (50011721)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 超幾何微分方程式 / 多変数超幾何関数 / 接続問題 / Stokes係数 / middle convolution |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Riemann球面上の不分岐不確定特異点をもつリジッドな線形常微分方程式は，middle convolution と addition とを組み合わせた変換を何度か重ねることにより，互いに移り合うことが分かっていた．middle convolutionに対応するEuler-Louville積分の積分路を複素平面上で考えることにより，様々な漸近挙動を持った局所解が構成されることを示し，その解を解析接続していって，出発点と異なる，あるいは同じ特異点に近づくときの解の様子を知るために積分路をどのように取るとよいかを示した．さらに，その積分の値の漸近的振舞いから，不確定特異点をもつ常微分方程式の解の接続問題，すなわち，接続係数やStokes係数が確定特異点の場合の接続問題の場合と同様に帰納的に計算できることを示した．この結果を導くため，複素積分の意味づけを含めた正当性と諸性質とを一般的な定理として与え，証明を含めて論文にまとめた．
この定理によって，一般超幾何函数の合流方程式における接続係数やStokes係数を明示的に与えることができ，この方程式の既約性の必要十分条件と可約な場合の分解の様子も完全に分かった．結果が綺麗に述べられることから，一般の場合の結果も予想が立った．
多変数の超幾何微分方程式系では，様々な変数変換とaddition，さらにmiddle convolutionとそれの多変数への拡張に当たる新たな積分変換を導入した．方程式の変換が格段に増えることになり，それらの関係を含めて全貌は未知であるが，漸近展開を含むべき級数解の変換という観点で深めていくと，従来研究してきたKZ型方程式の枠に収まらない新たな分かり易い変換が導入でき，新しい観点から古典的なHornの多変数超幾何級数を含む広い範囲での解析についての見通しが立った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
rigidで不分岐な不確定特異点をもつ方程式の解の積分表示とそれを用いて大域的問題，すなわち，接続問題の解くための基本定理を論文としてまとめ，出版されることになった（AMS，Contemporary Mathematics に載る予定）．これはスペインで開催予定であった国際シンポジウムがcovid-19のため現地開催されなくてオンラインで開催となったが，そこで発表した結果の一部を論文まとめたもの．
middle convolutionの多変数への拡張と考えられる自然で可逆な積分変換を導入した．
これらをもとにすると，一般の場合の具体的計算のための道具がたくさん手に入ったので，既存の古典的な例を吟味することにより，それらを拡張した多くの結果得られることが期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
一般超幾何微分方程式の合流の他，不分岐不確定をもつ多くの具体的な常微分方程式の接続問題で明示公式を計算すると共に，一般の場合の定式化を与える．
versal unfolding と組み合わせて不確定特異点の接続問題の理解を含め，さらに，確定特異点の場合も含めて多変数超幾何微分方程式の接続問題の重要例をいくつか計算して，よい定式化を探る．これについて，新しく導入した積分変換やそれによる微分方程式の変換との関係も調べる．
複素領域における非線形常微分方程式の数値解析において，Taylor法による高速高精度計算のライブラリの作成を進め，具体的な問題に適用できるようにする．
理論的部分については，熊本大の研究者との研究交流を行い，また金沢大での集会においては，数式処理プログラム上の問題点の議論を進めていく予定である．
2022年3月に計画していた熊本大，広島大や金沢大での研究集会がCOVID-19の影響で現地参加できなかった．今後は海外での国際研究集会無をめ可能な方法を模索しながら研究交流による情報収集や共同研究を続けていく計画である
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| Causes of Carryover |
計画されていた国内のいくつかの研究集会や海外での研究集会がcovid-19の影響ですべてキャンセルになった．また，国内研究者との対面での直接の研究交流を行うこともできなかった．
2022年度は，2021年度に行った研究を飛躍的に発展させるため，国内の関連研究者との対面での情報交換や共同研究を行うことが具体化しつつあり，開催が期待される国内外の研究集会に参加する計画である．
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Research Products
(10 results)
