2018 Fiscal Year Research-status Report
Study on diffusion processes by analytical methods
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18K03342
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| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
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Principal Investigator |
松本 裕行 青山学院大学, 理工学部, 教授 (00190538)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ベッセル過程 / ベッセル関数 / 零点 / 指数型汎関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ベッセル過程の到達時刻の確率分布の長時間挙動に関して，以前知られていた結果を改良して尾確率の時間を大きくしたときの漸近展開の第二項に関して研究を進め，係数などを具体的に与えた．結果は，濱名裕治氏との共同研究で得られているものの拡張であり，先行研究である針谷祐氏の結果の拡張にもなっている．関連する結果と合わせてまとめ，濱名氏との共著論文の形で発表した．
ベッセル過程の到達分布の考察において現れた，変形ベッセル関数の零点のみたす代数方程式の数値解を計算機により求めて，しかも簡便な計算機ソフトである Mathematica を用いて数表を与えるとともに，ベッセル関数の指数の関数としてグラフに表示した．さらに，零点のグラフが分岐する点の近傍における詳細な解析を与えた．結果は濱名裕治氏，白井朋之氏との共著論文の形で発表することができた．
ベッセル過程が平方根関数と交わる最初の時間は物理の問題に関連して M.Yor 氏が始めた研究である．この問題に関して，一昨年ウォリック大学において L.Alili 氏と始めた共同研究をさらに進め，指数型汎関数の結果を用いてベッセル過程の指数の符号を変えた場合の確率分布の関係について考察を加えた．結果は二人の共著論文の形で発表した．
２次元拡散過程について，生成作用素がリーマン計量から決まるラプラシアンの形のときに，かつそのときに限りブラウン運動の時間変更と同値であることを予想しほぼ解決した．しかし，応用に乏しいこと結果が最終的なものになっていないことから，発表はセミナーにおける発表に止まっている．今後の課題である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
ベッセル過程の到達時刻の確率分布に関して，当初目的としていた問題は解決したと思われることが大きな理由である．ベッセル関数の零点の数値解法は，応用が広いと思われる．
ベッセル過程と平方根関数との衝突時間に関しては，指数型汎関数に対する数年前の結果が応用できるとは予想していなかったので，研究の進展も計画以上である．
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| Strategy for Future Research Activity |
ベッセル関数に関する研究は継続するが，研究の大きな目的である２次元拡散過程の擬等角写像を用いた研究を進展させたい．通常のブラウン運動の時間変更と同値になる拡散過程について，ほぼ特徴付けが得られたと思われて発表もしているが，最後の部分を確定できていない．
また，もう一つの研究テーマである，正定値行列の空間上のラプラシアンに対応する拡散過程に関しては，ラプラシアンの次元による帰納的特徴までは把握したが，拡散過程の研究は不十分である．
擬等角写像を用いた研究と正定値行列の空間上の拡散過程は本研究の柱であり，今後も研究を進める予定である．
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| Causes of Carryover |
年度末に研究連絡のために九州に出張する予定であったが，京都におけるセミナーで発表することになり，九州出張を取りやめて京都において研究連絡を行ったため予定よりも支出が少なくなった．2019年度に九州に出張する旅費の一部に充当する予定である．
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