Study on diffusion processes by analytical methods

2020 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03342
• Research Institution: Aoyama Gakuin University
• Principal Investigator: 松本 裕行 青山学院大学, 理工学部, 教授 (00190538)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 拡散過程 / 確率解析 / 生成作用素 / ラプラス-ベルトラミ作用素 / ブラウン運動

Outline of Annual Research Achievements

正定値行列は多変量解析では共分散行列であり多変量分布の特徴付けを与える重要なものである．一方，その全体を考えると等質空間，対称空間の重要な例であり，調和解析や表現論において非常に重要である．これらのことから，古くから研究されてきた数学の場である． 等質空間上の解析においては，不変微分作用素が重要な役割を果たし，正定値行列の空間ではラプラス-ベルトラミ作用素の多項式が不変微分作用素を構成する．
本研究では，ラプラス-ベルトラミ作用素が岩澤座標を用いると簡明な形に表現され，対応する拡散過程であるブラウン運動もウィナー汎関数として具体的に表現できることを示した．さらに，行列式の作る確率過程が幾何ブラウン運動であることを示し，最大，最小固有値の作る確率過程の長時間漸近挙動に関して従来知られていた大数の法則に相当する結果を中心極限定理に相当する結果に拡張した．
一次元拡散過程が常に一次元ブラウン運動の時間変更で表現され，三次元以上の場合は生成作用素がラプラス-ベルトラミ作用素でも一般にはブラウン運動の時間変更では書けないことから，二次元拡散過程はどちらとも異なる重要な研究対象である．等温座標の存在に深く関係するという意味でも重要である．二次元拡散過程の中でラプラス-ベルトラミ作用素を生成作用素とする拡散過程を考察したが，係数に滑らかさを仮定した場合にブラウン運動の時間変更で表現できるという自分が以前示した結果以上のことを得ることはできなかった．
また，本研究の当初まで行っていたベッセル過程の到達時刻の分布の研究とその過程で得られた変形ベッセル関数の複素零点に関する研究結果について，論文の形で発表した．