2019 Fiscal Year Research-status Report
リーマン面及びクライン面のモジュライ空間における最大単射半径関数の解析
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18K03348
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| Research Institution | Aichi Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 複素解析 / リーマン面 / クライン面 / モジュライ空間 / タイヒミュラー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では、閉リーマン面およびクライン面それぞれのモジュライ空間上で定義された最大単射半径関数を極値的な曲面において考察し、その解析を行うことである。これは各リーマン面あるいはクライン面にその単射半径の最大値を対応させる関数であり、その被覆空間であるタイヒミュラー空間上の関数としても自然に意味をなしている。この最大単射半径関数の最大値を与える閉リーマン面およびクライン面を極値的と呼び、モジュライ空間上では有限個であることが知られている。これらの閉リーマン面を中心として最大単射半径関数の性質を調べている。
本年度は種数２の閉リーマン面のタイヒミュラー空間に作用する写像類群のある部分群の構造を解析し、標識付き極値的リーマン面にどのように作用しているかを調べた。昨年度と同様にタイヒミュラー空間のモデルとしてはSchmutz Schaller氏による標準多角形を基にした実７次元空間の部分集合を利用している。ここで考察した写像類は、標識付き閉リーマン面に対応する標準双曲多角形をそのフックス群の作用よって変形を行い、新たな標識付き閉リーマン面へ写像するものである。このタイプの写像類は２つの元で生成されることが得られ、１つはperiodicであるが、もう１つはreducibleであることが判明した。また、このreducibleである元とその逆写像に対して、測地的長さ関数による７変数表示を昨年度より簡明化することができた。これらの研究結果は国内の研究集会において発表している。この他に、開リーマン面の領域が強い円板的性質をもつための必要十分条件を、この領域の基本群から開リーマン面の基本群への自然な写像が単射になるという位相的な条件で与えることができた。この結果は論文で発表している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
進捗状況は次の通りである。１．種数２の閉リーマン面のSchmutz Schallerの標準多角形に基づくタイヒミュラー空間のモデルにおいて研究を進めており、昨年度はこの空間に作用する３種類の写像類を構成することができた。本年度は同種の構成方法を用いてさらに写像類を増やすことができ、しかもこれらが生成する群は２元生成群であることが証明できた。２．生成元である２つの写像類及びその逆写像の測地的長さ関数による７変数表示をこれまでよりも簡明化することができた。３．昨年度考察した１つの写像類は今年度構成した部分群の生成元になっていることが得られたため、この元による標識付き極値的リーマン面の像と原点との距離を表すグラフが位数３で推移していることが判明した。ここで用いた距離関数は昨年度のもので改良はしていない。４．開リーマン面の領域が強い円板的性質をもつための必要十分条件を、基本群を用いた位相的性質で与えることができた。クライン面については最大位数の自己同型群について研究を進めている段階である。これらの成果によりおおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究成果を元にして、リーマン面及びクライン面の最大単射半径関数の性質を更に調べていく。種数２の閉リーマン面の研究と平行して種数３の閉クライン面も対象として研究していく。Schmutz Schallerの標準多角形によるタイヒミュラー空間のモデルに作用する写像類群において、これまでに生成した部分群がどれほど大きなものかを調べることにより、得られている結果の精度を調べる。ここでコンピュータを大いに活用していく計画である。また、位相的モース関数との関連性を調べるために、関連分野の文献を調べていく。研究を遂行する上で他の研究者との議論は重要なため、可能な限り遠隔での打合せやセミナーを行い、研究集会においても積極的にwebを活用していく。対面での議論は有効なため、出張が可能な状況になれば国内・国外の研究者と積極的に交流を行っていき、必要な知識を教授してもらう。また、不足する議論や知識を補うために、リーマン面関連の文献を随時購入して研究内容を深化させていく。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響により、2月後半からと3月に予定していた研究打合せのための国内出張を3件中止した。このため次年度使用額が生じた。次年度においては、関連文献の購入を次年度分の助成金と合わせて使用する計画である。また、出張が可能な状況になった場合に、研究打合せをするための旅費として使用する計画である。金額は小さくはないが、十分使用可能である。
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