2021 Fiscal Year Research-status Report
リーマン面及びクライン面のモジュライ空間における最大単射半径関数の解析
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18K03348
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| Research Institution | Aichi Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 複素解析 / リーマン面 / クライン面 / モジュライ空間 / タイヒミュラー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では、閉リーマン面及び閉クライン面のそれぞれのモジュライ空間の上で定義された最大単射半径関数を考察する。閉リーマン面（または閉クライン面）上の各点には単射半径が定まるが、単射半径の最大値をこの閉リーマン面（または閉クライン面）に対応させる関数を最大単射半径関数と呼ぶ。モジュライ空間におけるこの関数の最大値を与える曲面を極値的リーマン面（またはクライン面）と呼び、解析の対象としている。最大単射半径関数は、モジュライ空間の被覆空間であるタイヒミュラー空間上の関数に持ち上げられ、この空間において解析を実行する。本年度は、昨年度に続き種数２の閉リーマン面のタイヒミュラー空間に作用する写像類群の２元生成部分群の構造を深く調べた。タイヒミュラー空間のモデルとして、標準双曲８角形を基にした実７次元空間の部分集合を用いている。ここで考察した２つの生成元は、periodic及びreducibleな元であり、この２つの元の間に成り立つ新しい関係式を得ることができた。これはこの部分群の構造を解析する上でとても興味深いものと言える。この研究結果は国内の研究集会において発表し、これまでの成果をまとめた論文を投稿中である。また、生成元の１つであるreducibleな元の３回合成元は７つの不変量をもつことが判明していたが、この３回合成元によるタイヒミュラー空間の商空間の座標付けが可能か研究している。この他に、タイヒミュラー空間の基点となる双曲正８角形からなる標識付き閉リーマン面の近傍において、先の２つの生成元の作用によって定まる極値的リーマン面の像の種類を増やし、基点との距離をさらに調べることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度もCOVID-19の影響のため、計画通りに研究を遂行することは難しい状況であった。特に、国内外の研究打合せのための出張を控えることが多くなってしまった。研究分野を同じくする研究者との対面による議論をすることは大変有益であり、その機会が少なくなったことは残念であったが、オンラインを中心とした議論を行うことはできた。
進捗状況は次の通りである。１．種数２の閉リーマン面の標準多角形に基づくタイヒミュラー空間のモデルにおいて、写像類群のあるperiodicな元とreducibleな元によって生成される部分群を考察し、この２元の間に成り立つ関係式を得ることができた。２．タイヒミュラー空間の基点となる双曲正８角形からなる標識付き閉リーマン面と標識付き極値的リーマン面の間の距離の精度を上げるために、先の２つの生成元の作用によって定まる極値的リーマン面の像の種類を増やして距離の測定を実施した。３．あるreducibleな元の３回合成元がもつ７つの不変量を用いて、この３回合成元によるタイヒミュラー空間の商空間の座標付けが可能かどうか研究中である。４．種数２のタイヒミュラー空間上の最大単射半径関数を７変数で記述する問題については継続中であり、次年度に解決したい。
このように、進展した部分もあるが、いくつかの問題は継続のまま本年度を終える形となってしまった。これらの状況により、進捗状況はやや遅れていると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に得られた研究成果を踏まえて、リーマン面及びクライン面の最大単射半径関数の研究を着実に進めていく。特に、最大単射半径関数の７変数による表現の完成を目指していく。この表現には、フックス群の有限個の生成元に対する多くの基本領域の情報が必要なため、コンピュータを活用する。この他に、標準双曲多角形によるタイヒミュラー空間のモデルに作用する写像類群において、これまでに構成した２元生成部分群の作用の性質を調べていく。ここでもコンピュータによる計算を大いに実施していく計画である。研究を遂行する上で他の研究者との議論は重要なため、出張が可能な状況が続けば国内外での研究打合せ・セミナーを行い、有益な研究集会には積極的に参加していく。状況によってはオンラインを十分に活用しながらアイデアや知識を教授していただく。また、昨年度と同様に研究手法を豊かにするために、リーマン面・双曲幾何に関連した文献を随時購入して研究を推進していく。
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| Causes of Carryover |
研究に関連する文献の購入とセミナー参加のための旅費として助成金を使用したが、COVID-19の影響により、年間を通して予定していた研究集会や研究打合せのための出張の多くを行うことができなかった。このため、次年度使用額が生じてしまった。次年度においては、次年度分の助成金と合わせて関連する文献を購入する計画である。また、出張が可能な状況においては、国内外での研究打合せ・セミナーを行い、研究集会に参加するための旅費として使用する計画である。
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