2021 Fiscal Year Research-status Report

Semiclassical analysis of sprectral and scattering problems on energy-level crossings

Research Project

Project/Area Number	18K03349
Research Institution	Ritsumeikan University
Principal Investigator	渡部拓也立命館大学, 理工学部, 准教授 (80458009)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	エネルギー交差 / 準古典解析 / レゾナンス / 遷移確率 / 完全WKB解析 / 準古典超局所解析
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題では「エネルギー交差に係る量子共鳴の準古典分布」及び「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」の２つをテーマに研究を行うものである。前者については、当初目標としていた問題について既に一定の解決に至っており、当該年度においては、主に後者のテーマについてパリ１３大学のZerzeri氏とともに研究を進めた。これは、時間依存シュレディンガー方程式をモデルとした連立の常微分方程式系について、断熱パラメータのみならず、擬交差のギャップも小さなパラメータとした2パラメータ問題である。擬交差のもととなるエネルギー交差の局所的な性質（交差点での傾きや交差点の個数）が、遷移確率の断熱極限にどのように現れるかを解析することが目的である。この遷移確率の断熱極限には、既存の結果が多く知られているが、2パラメータ問題として、断熱極限が破綻するほど擬交差のギャップが小さい場合の問題については未解決であった。昨年度、複数回擬交差が起こる場合の遷移確率について、ひとつの結果を得ることに成功し、学術雑誌に掲載されるに至った。上記の結果は、線型交差モデルを基にした擬交差を考察したものであったが、当該年度に考察したのは接触交差モデルに関してである。この場合において、完全WKB法が適用できないケース（断熱パラメータより擬交差ギャップを表すパラメータが小さいケース）では既存の標準形理論は存在しないという点が長年の課題である。今回のひとつの成果としては、もう一方の研究課題「エネルギー交差に係る量子共鳴の準古典分布」で培われたエネルギー交差点における局所解の構成に帰着させる方法を目論み、解決の糸口を得たことが挙げられる。これについては、神楽坂解析セミナー（東京理科大学）にて、発表をおこなった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 自己点検評価として「おおむね順調に進展している。」と判断した理由は、主要な研究課題として挙げていた「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」において、線型交差モデルの解析について解決に至り、次のフェーズである接触交差モデルの解析に移行し、解決の糸口を得るに至ったということである。残念ながら、昨年に続くコロナ禍により、Zoomによる議論も活用できるものになったものの、膝を突き合わせ黒板を介して議論する共同研究の機会に恵まれなかったが、一定の結果に至ったことを鑑みて、研究課題が進展したと評価したい。また進展しつつあるプロジェクトとして、単井戸ポテンシャルと二重井戸ポテンシャルの生成する3つ組の固有値に関する研究があるが、本研究課題の成果及び共同研究者の樋口氏ら結果が有用であることが分かったという意味でも、ポジティブな評価に値すると考える。
Strategy for Future Research Activity	「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」に関しては、Zerzeri氏とともに、接触交差するモデルについて考察する。断熱パラメータが擬交差ギャップを表すパラメータに比べ非常に小さいときは、自身の先行研究により完全WKB解析で明らかになっているが、パラメータの関係が逆転する場合については、未解決である。これについて既存の結果はないが、もうひとつの研究課題「エネルギー交差に係る量子共鳴の準古典分布」の方で得られたアイデアを援用することで解決できる見通しが得られたので、この方向で研究を行う。さらに接触次数が高次まで退化した場合について、Assal-藤家-樋口の最新の結果を適用することを、樋口氏らと行う。
Causes of Carryover	国際共同研究として、パリ１３大学のZerzeri氏との共同研究やボルドー大学のDimassu氏のと研究が進行中であり、そのための旅費及び招聘費としての使用を予定していた。しかしながら、コロナ禍による渡航自粛・渡航制限により、不使用になってしまったため次年度使用額が生じることとなった。また、例年3月上旬に開催している偏微分方程式姫路研究集会は、オンラインによる開催となり、オンライン上の研究討論スペースの使用料といったハード面の使途はあったものの、こちらも講演者に用意していた旅費などソフト面の使途がなくなり、大幅な残額が生じることになったことも理由に挙げられる。