2020 Fiscal Year Research-status Report
Integrable hierarchies related to Gromov-Witten invariants
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18K03350
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
高崎 金久 近畿大学, 理工学部, 教授 (40171433)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | リーマン球面 / 同変グロモフ-ウィッテン不変量 / 同変戸田階層 / フォック空間 / ギヴェンタール群 / 頂点作用素 / 双線形方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
オクニコフとパンダリパンデはリーマン球面の同変グロモフ-ウィッテン理論とその可積分構造である同変戸田階層については先駆的な研究を行っているが，この研究を見直して，同変戸田階層の由来を新たな観点から説明することができた．彼らは同変グロモフ-ウィッテン不変量の母函数をフェルミオン表示し，フェルミオンフォック空間上のある作用素（彼らがdressing operatorと呼ぶもの）を用いて，母函数が同変戸田階層のτ函数であることを示した．今回の研究では，この作用素に相当するものを差分作用素として再構成し，同変戸田階層の由来をラックス形式の言葉で説明することができた．オクニコフとパンダリパンデの作用素を差分作用素として再構成したものはこれまで知られていなかったある代数的関係式を満たす．この代数的関係式を用いてラックス形式の中で同変戸田階層が現れる仕組みを明快に説明することができる．さらに，リーマン球面を2点オービフォルドに置き換えた場合への一般化も同様に扱うことができる．
この研究と並行して，特別な場合の全種数グロモフ-ウィッテン不変量の母函数から広田型双線形方程式を導出するギヴェンタール，ミラノフ，ツェンらの研究の検討を開始した．彼らの研究では，これらの母函数をウィッテン-コンツェヴィッチτ函数のいくつかのテンソル積に対してボゾンフォック空間上のある種の作用素（ギヴェンタール群の要素）を作用させたものとして表し，後者に対する双線形方程式から求める双線形方程式を導く．その際，双線形方程式を構成する頂点作用素との間に成り立つ代数的関係式が基本的な役割を果たす．今回はいくつかの文献を検討して，この方法の技術的内容をかなり解読することができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウィルスの感染拡大に伴って，大学の授業がオンライン化されて負担が大幅に増えたことなどにより，研究時間が圧迫された．また，多くの研究会・会議が中止されて，情報交換の場が失われた．その後，zoomによる研究会・会議のオンライン開催が広まり，情報を得る機会はかなり増えたが，以前の状態には戻っていない．
すでに成果を得ていたフルヴィッツ数・ホッジ積分・位相的頂点の可積分構造の研究と今回成果があったリーマン球面の同変グロモフ-ウィッテン理論の可積分構造の研究は母函数のフェルミオン表示に基づいている．この方面の研究は当初の目標を達成しているように思われる．
当初計画で後半の重要な課題として位置づけたドゥブロビン-ヂャン理論やギヴェンタール理論については，さまざまな文献を読んで解読を進めている段階である．可積分系の観点から見れば，ドゥブロビン-ヂャン理論はハミルトン系としての見方を，またギヴェンタール理論は双線形方程式としての見方を軸にしている．ギヴェンタール理論はボソンフォック空間上のさまざまな作用素を駆使するもので，研究代表者がこれまで行ってきた研究と類似する部分が多い．ただ，頂点作用素の構成などでは孤立特異点の周期積分論からアイディアを借りていて，研究代表者にはまだ十分使いこなせない．
当初計画では，多次元射影空間やグラスマン多様体などのグロモフ-ウィッテン理論も視野に入れていたが，こちらについてはまだ手が届かない．ただ，チェコッティ，ドゥブロビン，グゼッティがこれらの多様体の量子コホモロジーをストークス行列の観点から論じた研究には注目している．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続きギヴェンタール，ミラノフ，ツェンらによる双線形方程式の導出の方法を学ぶ．この点に関しては，可積分系の専門家であるカーレットやファンドレアも近年研究を行っており，彼らの論文も大いに参考になる．これらの研究では可積分階層として戸田型可積分階層やカッツ-脇本階層が現れることが知られている．戸田型可積分階層のτ函数はフェルミオン表示をもつことが多いが，カッツ-脇本階層はボゾン的枠組みで構成や分類が行われる．カッツ-脇本階層はまだ未知の部分を多く残しており，今後の研究の重要な対象である．
さらに，ギヴェンタール群の変換群としての役割を解明したい．ギヴェンタール群はKP階層などの可積分階層の理論における変換群と似た役割を果たしているように見える．フェイギン，ファンドレア，シャドリンはフロベニウス多様体（言い換えれば種数0のグロモフ-ウィッテン不変量）と多成分KP階層の関係に基づいてそのような見方を論じている．さらに，ドゥニン-バルコフキーらはギヴェンタール理論とエナールとオランタンの位相的漸化式の関係を論じているが，その中にはギヴェンタール群の変換群としての役割を示唆する部分がある．
多次元多様体の全種数グロモフ-ウィッテン理論の可積分構造の問題はきわめて難しく，いまのところ手がかりは乏しい．ただ，種数0の部分，すなわち量子コホモロジーについては多成分KP階層や等モノドロミー系との関係が知られている．その中でもチェコッティ，ドゥブロビン，グゼッティのストークス行列に関する研究は興味深く，さらに追求するに値すると考えている．
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| Causes of Carryover |
おもな理由は新型コロナウィルスの感染拡大に伴う研究活動の停滞である．当初は予算の大半を国内・国外の研究会への参加のための旅費に使う予定だったが，それができなくなった．次年度も当分はこの状況が続くと思われるので，未使用分を旅費以外の項目に支出することを考えている．特に，これまで行っていなかった雑誌論文のオープンアクセス化に支出したい．また，研究計画全体の進み方がやや遅れているので，可能ならば期間延長を申請して，未使用分をそちらに充当したい．
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Research Products
(2 results)
