2022 Fiscal Year Annual Research Report
Integrable hierarchies related to Gromov-Witten invariants
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18K03350
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
高崎 金久 近畿大学, 理工学部, 教授 (40171433)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 格子KdV階層 / 格子GD階層 / 格子KP階層 / 一般化ILW階層 / 同変戸田階層 / 拡張戸田階層 / 対数的時間発展 / スケール極限 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度，BuryakとRossiの数年前の研究に基づいて，対数的時間発展による格子KdV階層の拡張（拡張格子KdV階層）を考察したが，今年度はそれを格子Gelfand-Dickey（GD）階層に一般化した．格子KdV階層と格子GD階層はいずれも格子KP階層の簡約系である．こうして得られた拡張格子GD階層は同じく対数的時間発展をもつ拡張戸田階層に似ているが，差分作用素の因子分解による一般解の記述などにおいて，それとは異なる特徴を見せる．
さらに，BurakとRossiは同じ頃，球面のHurwitz数に関連してIntermediate long waveと呼ばれる非線形波動方程式の高次時間発展の階層（ILW階層）も構成したが，今年度の研究ではその一般化を考察し，差分作用素の因子分解による一般解の記述，特殊解の構成，拡張格子Gelfand-Dickey階層への極限移行などを論じた．特に，特殊解の考察からは，OkounkovとPandharipandeの球面の同変グロモフ-ウィッテン不変量の研究との思いがけない接点が明らかになった．また，格子GD階層への極限移行は一種のスケール極限であるが，それによって一般化ILW階層の時間発展の一部が格子GD階層の対数的時間発展に転化することがわかった．このような対数的時間発展の起源の説明は従来知られていなかった．
これらと平行して，球面の同変グロモフ-ウィッテン不変量の可積分構造に関するOkounkovとPandharipandeの研究を「高スピン」の場合に拡張することを試みた．彼らは同変グロモフ-ウィッテン不変量のフェルミオン表示を戸田階層のτ函数の形に書き直すためにdressing operatorを導入した．今回の研究ではその高スピン版を見出し，それを用いて戸田階層の特殊解を得ることができた．
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