2019 Fiscal Year Research-status Report
Development of Theory of Harmonic Maps
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18K03352
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
浦川 肇 東北大学, 情報科学研究科, 名誉教授 (50022679)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 調和写像 / 二重調和写像 / G-主束 / 射影 / 群作用 / 軌道 / コンパクト対称三対 / ベクトル束 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
調和写像の研究の深化について、調和写像の自然な拡張である二重調和写像の研究を中心に行なった。その成果として、
（１）コンパクト・リーマン多様体上のベクトル束からの自然な射影がいつ調和写像となるか、二重調和となるか、を考察した。その結果、（２）コンパクト・ケーラー多様体上のベクトル束からの射影が二重調和であれば、それは調和写像に限ることを、ラプラス作用素の第一固有値を用いて示すことができた。（３）リッチ曲率が非正となる完備リーマン多様体上のGー主束からの射影は、二重調和であれば必ず調和写像に限ることを示した。（４）コンパクト対称三対を考察し、リー群上に作用する群作用について、(i) 二個の軌道が二重調和であるもの、(ii) 一個の軌道のみが二重調和であるもの、(iii) 二重調和とすれば必ず調和となってしまうもの、の三種類に限られることを示した。（５）上記の三種類について、リー群 G が単純リー群の場合に、起き得る可能なすべてを分類した。それらの分類結果のすべての詳細をここで書くことはできないが、結果は次のとおりである：(i) 二個の軌道が二重調和であるものは、15種類あり、それらで尽くされる。(ii) 一個の軌道のみが二重調和であるものは、3種類あり、それらで尽くされる。(iii) 二重調和とすれば必ず調和となってしまうものは、4種類あり、それらで尽くされる。（６）コンパクト・ケーラー多様体上のベクトル束からの射影について、上記とは別の考察を行い、射影のエネルギーと双エネルギーとを考察し、これらのエネルギーと双エネルギーが有限値であれば、射影が二重調和であれば必ず調和となることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
調和写像理論と二重調和写像理論は、当該研究者が長年に亘って行い著作活動を続けてきたものであり、アメリカ数学会とワールド・サイエンス社（昨年）から出版した。また、首都大学東京の若い教授らと共同研究を続けてきたことが実ってきたものである。特に若い研究者との討論が刺激となったことが大きい。更に特筆すべきことは、フランス、イタリア、ルーマニア、米国の研究者らとの交流を通して、彼らの現在における関心がどの辺りにあるかを的確に把握することができたこと。そこに向けて全力を挙げて努力できたことが大きい。当面する課題を的確に判断することができたことも、研究が順調に進展してきた理由に挙げられる。国内外の研究者との交流としては、国内と国外の研究会に招聘されて研究成果の発表を続けてきたことが自分の研究の推進に大いに役立ってきた。
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| Strategy for Future Research Activity |
残された研究課題としては、
（１）群作用の軌道空間の余次元が２以上の場合にどうなるか、（２）G-主束とは限らないワープ積の場合に二重調和写像どうなるか、特徴付けること、（３）調和、二重調和などの概念を拡張した多重調和写像についてどうなるか、（４）リーマン幾何の対象を緩め、擬リーマン幾何を考察しその上での擬二重調和写像を考察すること、（５）リッチ曲率が非正の仮定を緩め、リッチ曲率が正となる場合に、二重調和写像を考察すること、（６）これまで主として、対称空間内の部分多様体を中心に考察してきたが、もっと一般のリーマン空間内の部分多様体についても、二重調和写像の研究を推進すること。特に、二重調和写像の部分多様体理論を構築すること、（７）リーマン多様体の第一固有値と、調和写像や二重調和写像との関連を進めること、（８）奇数次元多様体である佐々木多様体、佐々木幾何学と二重調和写像との関連を追求すること、などが挙げられる。
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| Causes of Carryover |
2020年２月から3月末までに開催予定の微分幾何学研究会および日本数学会に出席予定であったが、コロナウィールスの影響で、すべて開催されないこととなった。このために計上していた旅費はすべて未使用となったためである。
次年度での使用計画としては、すべて旅費に参入して様々な研究会に出席する予定である。
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[Book] 代数学 第2巻2020
Author(s)
藤原松三郎、浦川肇、高木泉、藤原毅夫
Total Pages
693
Publisher
内田老鶴圃
ISBN
978-4-7536-0162-2
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