2018 Fiscal Year Research-status Report
特異性を伴う混合型非線形楕円型境界値問題における非自明解集合の大域的構造の研究
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18K03353
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
梅津 健一郎 茨城大学, 教育学部, 教授 (00295453)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線形楕円型方程式 / concave非線形性 / 符号不定重み関数 / ロバン境界条件 / 強正値解 / 分岐解析 / sub and supersolutions / 変分法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はconcave非線形性とそれに付随するindefiniteな重み関数をもつ非線形楕円型方程式について，ロバン型境界条件のもとで非自明非負解（以下，非自明解）の存在を考察した。本研究は Uriel Kaufmann, Humberto Ramos Quoirin との国際共同研究である。
「符号不定係数と混合型非線形性を伴う楕円型境界値問題の正値解の分岐構造に関する研究」（基盤研究(C)，課題番号15K04945, 研究代表者 梅津健一郎）における成果であり，論文(U.Kaufmann, H.Ramos Quoirin, K.Umezu, J.Differential Equations 263巻8号，2017年，頁4481-4502)において発表された非自明解の強正値性に関する結果を基にして，非自明解のパラメータ依存性（存在，一意性，多重性，挙動）を研究した。まず，分岐解の漸近的プロファイルを精密に与え，それらの結果を援用して，あるパラメータレンジにおいて非自明解の厳密な個数を与えた。ここで得られた非自明解の低多重性(low multiplicity)はこの方程式に対する従来の結果ではほとんど見られない。
さらに大域的分岐解析により，これらの局所解を含む，そして折り返し点をもつ，強正値解から成る分岐解集合の存在を示した。本研究ではさらに，大域的分岐解集合の種々の性質を引き出すことに成功した。すなわち，非自明解の低多重性を与えるパラメータレンジの評価，及び折り返し点の評価，加えて強正値性を満たすパラメータレンジの評価を与えた。これらの成果はsub and supersolutions の構成による方法，変分法を用いて得られた。
得られた研究成果を論文にまとめ，国際学術誌（専門誌）に投稿した。現在査読中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
成果を論文にまとめて，国際学術誌に投稿することができた。平成30年7月に台湾の台北で開催された国際学会で招待講演により成果発表を行った。さらに，令和元年7月にオランダ，ライデンで開催される国際学会で成果発表を行う予定である。パラメータ依存の非自明解集合の概形は，強正値解から成る連続体集合(component)として与えることができた。しかし，現在のところでは非自明解の厳密な個数の考察はパラメータの局所的な範囲に止まっており，大域的多重性の考察が十分とは言えない。また，パラメータに関する大域的な考察で言えば，componentの存在は示せたが漸近挙動に比べて中間挙動は十分とは言えない。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き Uriel Kaufmann, Humberto Ramos Quoirin との共同研究を中心に研究を推進する。ロバン型境界条件のもとでの研究を行い，大域的多重性の研究を進めていきたい。得られている非自明解（強正値解）の安定性解析が不十分である。解の安定性の議論と分岐解析を組み合わせて大域的分岐解集合のより精密な挙動を解析したい。研究を進める方針としては計画に従う。分岐理論，sub anb supersolutions, 変分解析，非自明解の先験的評価を主な手法として使い，パラメータ依存の解集合の大域的性質を解明したい。また研究の新しい展開としては，今年度に行った強正値解集合の解析に対するconcave指数の適用範囲の研究，強正値解に限らず，concave非線形性特有のdead coreをもつ非自明解の研究がある。さらに，現在考察している境界条件は順序性をもち，議論の中でこの性質を本質的に使っている。境界条件にindefniteな重み関数をもたせることは応用上自然な拡張として意義深い。
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| Causes of Carryover |
研究の進行状況により，共同研究者とのディスカッションが主であったため，研究図書の購入分が当初予定に比べて少額であった。来年度に偏微分方程式論関係図書，関数解析学関係図書の購入に充てる。
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