2020 Fiscal Year Research-status Report
特異性を伴う混合型非線形楕円型境界値問題における非自明解集合の大域的構造の研究
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18K03353
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
梅津 健一郎 茨城大学, 教育学部, 教授 (00295453)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線型楕円型方程式 / 劣線形(sublinear) / ロバン境界条件 / p-Laplacian / 正値解の厳密な個数 / 多重性と一意性 / 正値性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，sublinear(concave)非線形性と符号不定な重み関数をもつ非線形楕円型方程式について，つぎの2つの研究テーマに取り組んだ．(1) ロバン境界条件のもとで，ある臨界状況に近い振る舞いを示す符号不定重み関数に対して，正値解集合の大域的構造を厳密に特徴付けること．(2) p-Laplacian 非線形拡散項を備えた場合の正値解の存在定理と一意性定理を確立すること．(1),(2)ともにパラメータ(one parameter)の変化にしたがって正値解集合の存在と振る舞いを考察した．本研究は Uriel Kaufmann (Universidad Nacional de Cordoba), Humberto Ramos Quoirin (Universidad Nacional de Cordoba) との国際共同研究である．
テーマ(1)については，彼らとの共同研究により得られている正値解の個数のパラメータ局所的厳密性を援用して，正値解の個数のパラメータ大域的厳密さを導いた．研究の手法は非線形問題に付随した線形化固有値問題に対するスペクトル解析である．成果は論文にまとめて国際学術専門誌に投稿し，受理された．
テーマ(2)については，同じく共同研究により得られている p=2 の場合の非自明非負解に関する結果を一般の p-sublinear case (p-Laplacian case) に拡張した．研究の手法は変分法による．付随する汎関数の local minimizer の存在と一意性を考察した．また，指数がある臨界状況に近いときに local minimizer の正値性を得た．成果は論文にまとめて国際学術専門誌に投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
テーマ(1)について進捗状況を記す．前年度の研究成果において，最小正値解は解曲線上の折り返し点を除いて大域的漸近安定であり，折り返し点を示す最小正値解は弱安定であることが示された．さらに，弱安定な正値解はこれらに限られ，そのほかの正値解（第2正値解を含む）は不安定であることが示された．今年度は前年度からの考察を進展させて，付随する重み関数についてのある特定の条件下で，不安定正値解に対する線形化固有値問題の第2固有値の符号を考察して，第2固有値が正値であることを導いた．この結果から直ちに不安定正値解は陰関数定理の適用範囲に置かれることになり（線形楕円型境界値問題に対するフレドホルム交代性），正値解集合は，折り返し点を除いて，パラメータの連続的依存性（curve）をもつことがわかった．この結果が決定的となり，すでに証明されている正値解の個数のパラメータ局所的厳密性からパラメータ大域的厳密さを導いた．
テーマ(2)について進捗状況を記す．付随する汎関数の停留点を考察して，厳に一つの nonnegative minimizer が存在し，それはある種の正値性をもつことを示した．さらに，そのような正値性をもつ非負解は，求めた nonnegative minimizer に限ることを示した．他方で，領域全域で正値であるような正値解は存在すればただ一つであることがわかった．さらに正値解の存在について考察を進めて，非線形項の指数 q が p-linear に近いとき，nonnegative minimizer は厳に正値解であることを導いた．sublinear タイプの非線形楕円型境界値問題の非自明非負解は強最大値の原理と Hopf の boundary point lemma の適用範囲外に置かれていて，正値性条件を満たす方程式のクラスを与える研究はこの分野では大変意義深い．
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| Strategy for Future Research Activity |
sublinear case の未解決問題に取り組む．重要なものとしては，ディリシレ境界条件に対する境界上の decay 条件取り外し可能問題である．ディリシレの場合は解が境界において 0 を値にもつため，正値解に対する線形化方程式は境界付近で特異性をもつ．そのため，陰関数定理および分岐理論を適用する際の線形化問題の定式化に繊細な取り扱いを必要とする．これまでの研究では，方程式に内包する符号不定重み関数にある種の付加条件，例えば decay 条件を境界近傍に課す必要があった．この decay 条件を外すと現在のところ定式化が困難である．この議論は未知関数に関してのフレッシェ微分に基づくが，微分操作を回避して連続性条件のみで行える分岐解析を模索する．
p-Laplacian case については，p-sublinear を含む mixed nonlinear タイプの非線形境界値問題を考察する．p=2 の場合については Kaufmann, Ramos Quoirin との共同研究により非自明非負解に関する種々の結果が得られている．そこで展開された技法の適用範囲を一般の p に拡張する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの世界的蔓延の中，感染予防のため成果発表の国内出張，外国出張を取りやめた．2021年度に改めて成果発表のための旅費に充てる．国際共同研究をオンライン上で円滑に進めるための機材購入に充てる．
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