2018 Fiscal Year Research-status Report
Classification and characterization of the integrability of rational difference equations based on their dynamical degree
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18K03355
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
WILLOX Ralph 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20361610)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 離散可積分系 / 双有理写像 / 力学系次数 / 非自励系 / 特異点閉じ込め |
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| Outline of Annual Research Achievements |
近年、数理物理学や代数幾何学という研究分野で大いに研究されてきている高階の可逆な有理的常差分方程式に関して、方程式の一般解の複雑性または方程式の可積分性を計る「力学系次数」 の具体的な計算方法を開発すること、及び力学系次数による高階常差分方程式の分類や特徴付けを行うことは本研究計画の大きな目的である。
初年度の平成30年度には、主に下記の4つの研究課題について研究を行った。
（１）以前に２階の有理的常差分方程式の力学系次数を計るために開発してきた「express method」と呼ばれている手法は、可積分系業界で、非常に効率的であると評価されているが、その手法の適用範囲はまだ明確ではない。そのため、まず、express methodの幾何学的な根拠を明らかにする必要があった。
（２）高階の可積分な差分方程式が、「簡約」と呼ばれている数学的課程で、多次元の格子上で定義されている可積分な発展方程式から割と容易に得られることは昔から知られている。一方、格子上の方程式の可積分性に大きいな影響をもたらす特異点と簡約後の方程式の特異点との関係はいまだに不明である。その関係を解明しながら格子上の方程式における「可積分性」の厳密な定義も考察した。
（３）２階の場合と違って、高階の有理的な常差分方程式の特異点の分類はまだ完全にできていない。そのため、まず高階の方程式の特異点の性質を考察し、特異点の分類を調べ始めた。その分類がこれから完全にできたら、高階の有理的差分方程式の特異点による特徴付けが実際に可能であるかどうかを考察する必要がある。
（４）２階の方程式の場合、方程式の形が異なっていても、特異点の構造を調べることによって方程式同士の関係を明らかにする手法が最近提唱されたが、その手法を用いて２階の非自励の差分方程式の間、特に離散パンルヴェ方程式の間にどのような関係があるかを具体的に調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上述のテーマ（１）について、東京大学・大学院数理科学研究科のTakafumi Mase、及びパリ第7大学のBasil GrammaticosとAlfred Ramaniとの共同研究で、一般の３point mappingに対するexpress methodの幾何学的な根拠を解明し、その手法の厳密さを証明した。この結果を発表する論文はJournal of Physics Aで掲載済みである。さらに、２階の有理的常差分方程式の特異点の分析に基づく可積分性判定法を、専門家でない数学者や物理学者に紹介するためのレビュー論文を専門書の一部として出版した。
テーマ（４）に関しては、Basil GrammaticosとAlfred Ramaniとの共同研究で、特異点の分析に基づき、様々な非QRT型の２階の差分方程式と関係する離散パンルヴェ方程式を系統的に構成し、それぞれのパンルヴェ方程式の間の関係を説明することができた。これらの結果を発表する一つの論文はすでにJournal of Nonlinear Mathematical Physicsで掲載確定であり、もう一つの論文は現在投稿中である。
テーマ（２）と（３）については、格子上で定義されている可積分系の典型的な例である離散KdV方程式の一般的な簡約を考察し、その簡約で得られる高階の写像の特異点の分類を行って、写像の特異点を元の離散KdV方程式における特異点と関連づけるに成功した。さらに、離散KdV方程式の非可積分な拡張の簡約から得られる写像が単純なn point mappingである場合には、標準的なexpress methodが問題なくその写像に適用できることも示した。この結果を発表する論文は現在作成中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成３１年度には、昨年度の様々な進展に基づき、まず高階常差分方程式の特異点の分類をさらに深める予定である。そして、n point mappingより複雑な性質を持つ写像の場合にも、写像の特異点の構造と力学系次数との関係を調べる予定である。特に、n^2のような次数増大以外の振る舞いを持つ方程式系の例が不足している中、まず２階の差分方程式の場合に存在しない振る舞いを示している写像をできるだけ多く構成する必要がある。そのための適切な構成法は、現在、いくつか開発中である。
さらに、研究計画書で提案したC-型とD-型の離散KP階層の簡約を考察する予定である。一方、今年度に入って、そういった格子上で定義されている方程式の可積分な簡約を一般的に考察した際、方程式に課される境界条件と可積分性判定によく用いられている手法の間に矛盾が生じる場合もあることに気づき、まず境界条件の可積分系に関する役割を考える必要があるとわかってきた。また、格子上の発展方程式における可積分性をどう厳密に定義すれば良いかという問題を同時に考える必要があることもわかってきた。
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| Causes of Carryover |
(理由) 購入予定のあったタブレットが平成３１年度の夏に更新される発表があったため、平成３１年度中にその新しいモデルを購入することにした。
(使用計画) 生じた次年度使用額を31年度にタブレットの購入に充てる予定である。
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