2019 Fiscal Year Research-status Report
Classification and characterization of the integrability of rational difference equations based on their dynamical degree
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18K03355
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
WILLOX Ralph 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20361610)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 離散可積分系 / 双有理写像 / 力学系次数 / 非自励系 / 特異点閉じ込め |
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| Outline of Annual Research Achievements |
近年、数理物理学や代数幾何学という研究分野で大いに研究されてきている高階の可逆な有理的常差分方程式に関して、方程式の一般解の複雑性または方程式の可積分性を計る「力学系次数」 の具体的な計算方法を開発すること、及び力学系次数による高階常差分方程式の分類や特徴付けを行うことは本研究計画の主な目的である。
令和元年度には、主に下記の３つの研究課題について研究を行った。
（１）多次元の格子上で定義されている可積分な発展方程式から高階の可積分な差分方程式を得るための、「簡約」と呼ばれている数学的手法は昔から知られている。一方、格子上の方程式の可積分性に大きいな影響をもたらす特異点と簡約後の方程式の特異点との関係はいまだに不明である。その関係を解明しながら格子上の方程式における「可積分性」の厳密な定義を考察した。
（２）２階の方程式と違って、高階の有理的常差分方程式の特異点の分類はまだ完全にできていない。そのため、令和元年度にも高階の方程式の特異点の性質を考察し、特異点の分類を行っていた。その分類が完全にできたら、高階の有理的差分方程式の力学系次数の特異点による特徴付けも自然に可能になることが期待できる。
（３）２階の方程式の場合、方程式の形が異なっていても、特異点の構造を調べることによって方程式同士の関係を明らかにする手法が最近提唱され、その手法を用いて２階の非自励の差分方程式の間、特に離散パンルヴェ方程式の間にどのような関係があるかを具体的に調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上述のテーマ（３）について、パリ第7大学のBasil GrammaticosとAlfred Ramaniとの共同研究で、非対称な「trihomographic form」で表せる離散パンルヴェ方程式という非常に重要な方程式のクラスを特異点の観点から考察し、それらの方程式の完全な分類を行った。この結果を発表する論文はJournal of Mathematical Physicsに掲載された。
また、テーマ（１）と（２）については、格子上で定義されている可積分系の典型的な例である離散KdV方程式の一般的な簡約を考察し、その簡約で得られる高階の写像の特異点の分類を行い、写像の特異点を元の離散KdV方程式における特異点と関連づけることができた一方、元の離散KdV方程式には、実は、特異点閉じ込めという性質を持たない特異点も存在することを発見した。この結果を発表する論文はJournal of Physics A: Mathematical and Theoreticalに掲載された。
さらに、東京大学・大学院数理科学研究科のTakafumi Maseとトゥルク大学のJarmo Hietarintaとの共同研究で、２次元の格子上で定義される差分方程式の代数的entropyの計算において、課されている初期値条件の特徴が非常に大きいな影響をもたらすことを明らかにした。この結果を発表する論文はJournal of Physics A: Mathematical and Theoreticalに掲載された。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和２年度には、昨年度の様々な進展に基づき、まず高階常差分方程式の特異点の分類をさらに深める予定である。そして、普通のn point mappingより複雑な性質を持つ写像の場合にも、写像の特異点の構造と力学系次数との関係を調べる予定である。特に、n^2のような次数増大以外の振る舞いを示す方程式系の例は意外と少ないので、２階の差分方程式の場合に存在しない振る舞いを示している写像の具体例をもっと構成する予定であり、そしてそういった写像を構成するための数学的手法をさらに開発する予定である。
また、昨年度に離散KdV方程式の特異点について得られた結果を踏まえて、離散KdV方程式における特異点と特異点同士の相互作用の一般論を作る予定である。
さらに、昨年度に発見した、初期値が２次元の格子上の差分方程式の可積分性に非常に大きな影響をもたらす現象を更に考察し、そのメカニズムの数学的根拠を明らかにする予定である。また、研究計画書で提案したC-型とD-型の離散KP階層の簡約も考察する予定である。
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| Causes of Carryover |
令和元年度に購入する予定だったタブレットは、結局、販売されず、タブレットの購入を断念せざるを得ない状況になった。
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