2021 Fiscal Year Annual Research Report
Classification and characterization of the integrability of rational difference equations based on their dynamical degree
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18K03355
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
WILLOX Ralph 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20361610)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 離散可積分系 / 双有理写像 / 力学系次数 / エントロピー / 特異点 / 離散化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数理物理学または代数幾何学などの研究分野で大いに考察されている高階の可逆な有理的常差分方程式に関する研究においては，方程式の一般解の複雑性または方程式の可積分性を測る「力学系次数」が，近年，最も重要な数学的な道具になってきている．本研究の主たる目標は，高階の可逆な有理的差分方程式の力学系次数を具体的に求められる計算手法を開発し，その計算方法を用いて高階の可逆な有理的差分方程式を分類することである.
また，高階の有理的差分方程式の持つ特異点の構造を研究し，特異点の性質とその方程式の可積分性や非可積分性を決める力学系次数との関係を明らかにすることがもう一つの重要な目的である．簡約として高階の差分方程式を数多く含む偏差分方程式における特異点構造，並びに偏差分方程式の一般解の複雑性を測る「代数的エントロピー」を考察することはそのための一つのとても有力な研究方法である．
後者の研究テーマに関しては，当初の研究計画を立てた時に想像もできなかった革新的な進歩があったため，ここ2年，主に偏差分方程式について研究を行ってきた．初期値条件及び境界条件が偏差分方程式の代数的エントロピーの計算結果に大いな影響を与えること，または可積分な偏差分方程式の典型的な例である「離散KdV方程式」に今まで知られていなかった新しい特異点構造が存在すること，を発見したことはこの研究の一番重要な研究成果である．
最終年度の令和3年度には，まず離散KdV方程式の場合に発見できた特異点構造が他の偏差分方程式の場合にも存在することが確認でき，その特異点構造の相互作用を可積分なセル・オートマトンと関連づけることに成功した．また，昨年度の研究結果に基づいて，有名なLorenz系の一つの可積分なケースの新しい３次元の離散化を構築し，その離散系の可積分性を示した．それぞれの結果を発表する論文は現在作成中である．
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