2020 Fiscal Year Research-status Report
On the structure and the bifurcation of non-hyperbolic attracting regions: theory and numerics
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18K03357
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
篠原 克寿 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 准教授 (50740429)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非双曲型力学系 / ヘテロ次元サイクル / 野生的力学系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究については，非双曲型力学系の可視化，非双曲型力学系の通有的な性質，非双曲型力学系における周期点の個数の発散速度に関して新しい知見が得られた．これら３点について以下具体的に述べる．
(1)非双曲型力学系の可視化に関する研究について．ブレンダーと呼ばれる構造を持つ力学系に対してそのもととなる双曲型集合を数値的に計算する研究を行った．具体的には，ブレンダーを持つと理論的に分かっている力学系に対して，双曲型集合の構成要素となる双曲型周期点を数値的に計算し，それらの点における双曲型分解を計算することにより，近似的に不変多様体の様子を計算した．この結果は専門誌に投稿し，論文は掲載された．
(2)非双曲型力学系の通有的な性質に関する研究について．部分双曲型力学系における周期点の超指数関数的増大に関して，ロバストなヘテロ次元サイクルを持つ力学系に対して，中心方向の二階，三階微分に関する自然な仮定の下で通有的に超指数的増大が発生していることを証明した．この結果に関しては論文にまとめ，専門誌に投稿し，論文の掲載が決定している．
(3)非双曲型力学系における周期点の個数の発散速度に関する研究について．ロバストなヘテロ次元サイクルにをもつ力学系に対して，元となる周期点が周期１であることと，ヘテロ次元サイクルの余次元が１であるという仮定の元で（力学系の空間のある開集合における稠密なものに対して）周期点の発散速度が超指数関数的になるということを発見した．この結果は論文にまとめ，専門誌に投稿した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和２年度に関しては以下の３点の進展があった．
(1)非双曲型力学系の可視化に関する研究について，ブレンダーと呼ばれる構造を持つ力学系に対してそのもととなる双曲型集合を数値的に計算する論文 "HOW TO IDENTIFY A HYPERBOLIC SET AS A BLENDER" を "DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-A" 誌に投稿し，掲載された．
(2)非双曲型力学系の通有的な性質に関する研究について，部分双曲型力学系における周期点の超指数関数的増大に関する論文 "Fast growth of the number of periodic points arising from heterodimensional connections" を Compositio Mathematica 誌に投稿し，掲載が決定した．
(3)非双曲型力学系における周期点の個数の発散速度に関する研究について，ヘテロ次元サイクルをもつ力学系に対して自然な条件の元で発散速度が（力学系の空間のある開集合における稠密なものに対して）超指数関数的になるということを発見した．この結果について論文 Super exponential divergence of periodic points for C^1-generic partially hyperbolic homoclinic classes にまとめ，現在投稿中である．
以上のことから研究はおおむね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和２年度までで当該研究課題で当初予定していた研究主題について一定の成果が得られた．その一方で令和２年度は当初予定していた研究計画が新型コロナウイルスの問題で実行できなかった．令和３年度の研究では令和２年度に実行できなかった研究を行うとともに，これまでの研究で達成できなかった主題について引き続き研究を進めてゆく．具体的に３つの研究主題について述べる．
(1)野性的力学系の分岐に関する研究．部分双曲型力学系を摂動することにより野性的力学系とすることができるか，という問題の検討を進める．令和２年度は新型コロナウイルスの影響のため検討を行うための出張ができなかったが，影響が収まり次第共同研究者との討議を進め，結果を論文にして公開する．
(2)非双曲型吸引領域の明示的な構成について．これまでの研究成果を踏まえたうえで，非双曲型力学系で吸引領域となるようなものをわかりやすい形（多項式など）で具体的に構成するという問題を考察する．吸引領域とならないようなものや，抽象的な形で構成されたものについてはすでにいくつかの結果があるので，これらを参照しつつ，問題に取り組む予定である．
(3)ヘテロ次元サイクルの可視化・数値解析の手法による研究．令和二年度までの研究結果によりブレンダーと呼ばれる構造を持つ具体的な力学系の族が得られている．この力学系の中立方向に適当な変形を加えることによりヘテロ次元サイクルを持つ力学系を構成することが期待されるが，この変形を実際に行い，得られた力学系を数値的手法により分析する．
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| Causes of Carryover |
当初予定では令和２年度は非双曲型力学系，特に野生的力学系の分岐問題についてフランスのブルゴーニュ大学を訪問し共同研究者と討議を行う予定であった．しかし，この計画が新型コロナウィルスの影響により実施できなかった．したがって当該出張の費用を令和３年度に繰り越し，コロナウイルスの問題が収束し次第目下の出張を実施することを計画している．
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Research Products
(5 results)
