2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03358
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| Research Institution | Tokyo University of Marine Science and Technology |
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Principal Investigator |
中島 主恵 東京海洋大学, 学術研究院, 准教授 (10318800)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式 / 特異摂動問題 / 遺伝子頻度 / 遷移層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線型反応拡散方程式において拡散係数を微小にすると，解が遷移層やスパイクなどの際立ったパターンを形成することがある．方程式が空間的に不均一な場合には，不均一性が定常解の構造に大きな影響を与えることが，申請者を含む国内外の研究によりわかってきた．本研究では空間的に不均一な非線型反応拡散方程式の定常問題を 扱い，不均一性と定常遷移層の位置や形状，安定性との関連を研究する．また不均一性が定常解集合の構造にあたえる影響，とくに定常解の一意性，多重度などを研究する．
本年度は特に遺伝子頻度モデルに現れる定常遷移層の研究をすすめる．この方程式では非線型項にかかる環境係数 g(x) が符号を変える．従来 g(x) が符号を変えない場合は多くの研究がなされてきたが，g(x) が符号を変える場合には解の挙動は大きく異なる．この方程式は集団遺伝学においてNagylakiが導入した遺伝子頻度のモデルに一致し，Lou-Nagylaki (2002)は次の予想をした．
予想１．∫_Ω g(x) dx>0 の条件のもと，方程式(E)は一意の非自明(非定数)定常解をもつ．この定常解は漸近安定である
予想２．∫_Ω g(x) dx<0 の条件のもと，方程式(E)は非自明(非定数)定常解を丁度２個もつ．１つは漸近安定な定常解であり，もう１つは不安定な定常解である
この予想にたいし，申請者(2016), 申請者(2018)は， Ω を１次元の区間とし， g(x) に付加的条件をつけ,予想１を厳密に証明した．これら予想１の一意性に関する結果を得るためには，遷移層をもつ定常解の形状を詳細に評価することが必要であった．これらを評価しているうちに Lou-Nagylakiの２つの予想は必ずしも成立しないことに気付いた．本研究ではLou Nagylaki予想の反例を構成する．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は次のことを明らかにした．上記の既存の研究から，g(x)のすべての零点の近傍に遷移層をもつような安定定常解が存在することが示される．また ∫_Ω g(x) dx<0 の場合には，このほかにもう１つ非定数定常解が存在し，その定常解は常に０の近くに値をとる．Lou-Nagylaki の予想２よりこの２つの定常解以外に非定数定常解は存在しないと思われていたが，この予想は成り立たず g(x) の取り方によっては他にも数多くの非定数定常解が存在することがわかってきた．例えば g(x)が ζ,ξ (0<ζ<ξ<1) の２点で符号を変える場合(ただし g'(ζ)<0 )を考える．この場合にもζ,ξの両点の近傍にそれぞれ遷移層をもつ解が１つと，０の近くに留まる解が１つと，計２つの定常解の存在は既存の結果から示される．この他にg(x)の取り方によっては次の６つの非定数定常解が存在することを示す．
１．g(x)の零点ζの近傍にのみ遷移層をもち，ξの近傍には遷移層をもたない定常解が少なくとも２つある．その中に安定定常解，不安定定常解が少なくとも１つずつある．
２．０の近傍に留まる非定数定常解は(１つではなく)少なくとも３つ存在する．
この結果を Multiple Existence of Indefinite Nonlinear Problem in population Genetics にまとめ，現在投稿中である.
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| Strategy for Future Research Activity |
この方程式に興味を持った理由は予想1を証明したいと思ったからである．しかしながら上記の予想2の反例を構成しているうちに予想1も必ずしも正しくないことがわかってきた.来年度以降に予想1の反例を構成する．さらにこの方程式に積分平均の項を加えた不均一な非線型反応拡散方程式を扱い，拡散，空間的不均一性，積分平均の３つの要素は釣り合いを保ち定常遷移層を形成するかという問題を解明する．
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| Causes of Carryover |
本年度は Linlin Su 准教授(Southern University of Science and Technology )を訪問し研究連絡することを当初予定していた．しかしながら，Su氏に招かれた期間に学内の業務が重なり多忙になったため訪問をキャンセルした．来年度以降に時期を調整し，Su氏を訪問する予定である．
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