2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K03358
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| Research Institution | Tokyo University of Marine Science and Technology |
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Principal Investigator |
中島 主恵 東京海洋大学, 学術研究院, 教授 (10318800)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式 / 空間不均一 / 遷移層 / 特異摂動法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
拡散係数を微小とした非線型反応拡散方程式において，解が遷移層やスパイクなどの際立ったパターンを形成することがある．方程式が空間的に不均一な場合には，不均一性が定常解の構造に大きな影響を与えることが，申請者を含む国内外の研究によりわかってきた．本研究では空間的に不均一な非線型反応拡散方程式の定常問題を 扱い，不均一性と定常遷移層の位置や形状，安定性との関連を研究する．また不均一性が定常解集合の構造にあたえる影響，とくに定常解の一意性，多重度などを研究する．
本研究は遺伝子頻度のモデル (E) u_t=△u+g(x)u^2 (1-u) をノイマンゼロ境界条件下で考える．g(x) は符号を変える．方程式（E）は 集団遺伝学においてNagylakiが1975年に導入した遺伝子頻度のモデルである．この方程式にたいし，Lou-Nagylaki (2002)は，0と1の間に存在する非定数平衡解の一意性に関する予想をした．Lou-Nagylaki の予想は長い間信じられてきた．申請者を含む多くの国内外の研究者たちが、この予想を裏付ける結果を公表している．しかしながら研究を進めるうちLou-Nagylaki の予想に対する反例を構成できることに気づいた．反例の構成には特異摂動法を用い、長い間信じられてきた予想が必ずしも正しくないことが証明された．
さらに最近この方程式の定常問題は，1以下のものに限らなければ非常に豊かな解構造をもつことがわかってきた．この解構造についても分岐理論の立場から研究を進める．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
概要欄(E)の方程式にたいする Lou-Nagylaki (2002)の予想とは次のようなものである．
予想１．∫_Ω g(x) dx >0 の条件のもと，方程式(E)は一意の非自明(非定数)定常解をもつ．この定常解は漸近安定である
予想２．∫_Ω g(x) dx<0 の条件のもと，方程式(E)は非自明(非定数)定常解を丁度２個もつ．１つは漸近安定な定常解であり，もう１つは不安定な定常解である．これら予想は長い間信じられてきた．申請者を含む多くの国内外の研究者たちが、この予想を裏付ける結果を公表しているが，研究を進めるうちに Lou-Nagylaki の予想に対する反例を構成できることに気づいた．反例の構成には特異摂動法を用い、長い間信じられてきた予想が必ずしも正しくないことが証明された．当初の計画にはない部分が付け加えられたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
学会でこれらの結果の発表をしたところ，宮崎大学の辻川教授より，「1以下のという制限をつけたときの解構造はよくわかった．もし１以下という制限が無ければしなければ，方程式(E)の平衡解にはどのようなものがあるか」という質問を受けた．想定外の質問に即答はできなかったが，最近になりこの方程式の定常問題は，1以下のものに限らなければ非常に豊かな解構造をもつことがわかってきた．1以上の値を持つ平衡解の解構造についても分岐理論の立場から研究を進める．
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| Causes of Carryover |
緊急事態宣言により当初予定していた出張がキャンセルになったため。
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