Stationary problem of spatially inhomogeneous reaction diffusion equations

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03358
• Research Institution: Tokyo University of Marine Science and Technology
• Principal Investigator: 中島 主恵 東京海洋大学, 学術研究院, 教授 (10318800)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 反応拡散方程式 / 特異摂動問題 / 遺伝子頻度 / 遷移層

Outline of Annual Research Achievements

研究論文Bifurcation structure of an indefinite nonlinear diffusion problem in population geneticsではここ数年に引き続き上記の遺伝子頻度モデルを扱う．昨年度までの研究では求める解が遺伝子頻度であるため0から1までの解が興味の対象であった．しかし研究を進めるにしたがって0と1の間の定常解の全体像を明らかにするためには自明定常解 $u=1$からの非定数定常解の分岐構造を調べることが可欠になることに気づいた．u=1 からの分岐問題の重要性はFeltrin-Sovrano，Izuharaなどの数値実験の結果などからも裏付けられる．このような生物学的な意義に加え，数学的な意義は次のようである．非線形項が符号を変えるようなロジスティックタイプの方程式の正値定常解の分岐構造を研究は1970年代から国内外でさかんに行われてきた．非線形項が符号を変えない場合には,数えきれないほどの先行研究があるが，非線形項が符号を変える場合には変えない場合に比べて国内外でも研究が始まったばかりと言ってよく，その解の挙動は数学的にも複雑で興味深い．
同論文では以下のことを証明した．定常解 u が n 回 1を横切るとき，モードnの解と呼ぶことにする．拡散係数を小さくしていくと定数定常解 $u=1$ からモード1の解，モード2の解・・・が順に分岐することが示される．この分岐の枝の解はモードを変えず，大域的に存在する． モード $n$ の解 $u$ は(境界を含めると）n+2個の極点を持ち，uが1を横切る点と極点は交互に現れる．
さらに拡散係数が十分小さいときには，uが１を横切る点（u-1の零点）は境界点，あるいは非線形項が符号を変える点の付近のみに現れることが証明され，モードnの解の詳細な形状が明らかになった．