2018 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical study of the Feynman path integrals and its application to quantum electro dynamic and quantum information theory
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18K03361
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
一ノ瀬 弥 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (80144690)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Feynman経路積分 / 量子情報理論 / 時間連続的な量子測定理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者の研究課題の目的は、Feynman経路積分の数学的研究と、その量子電磁力学・量子情報理論への応用である。交付申請書に記載したように、平成３０年度の実施計画は、時間連続的な量子測定理論のFeynman経路積分による定式化であった。本年度の研究実績は、以下の通りである。
“時間連続的な位置（量子）測定の影響を受けたスピン粒子の、遷移振幅を表すFeynman経路積分の収束の証明”を行った。
量子測定理論は、量子情報理論の中で重要な位置を占める研究課題である。特に時間連続測定は、測定が有限時間続くという意味で現実的なものであり、工学への実際的な応用が期待できる分野である。Feynman経路積分を用いた量子測定のアイデアは、Feynman（1948）に基づく。Feynmanのアイデアは、時間連続測定についてMenskyにより、次のように発展させられた（1993,2000）。連続測定を行えば、その測定結果から測定誤差も考慮に入れて、粒子が通る経路の集合が特定される。連続測定を受けた粒子の遷移振幅は、この特定された経路の集合上のFeynman経路積分で表される（制限Feynman経路積分）。制限Feynman経路積分についての数学的結果は、Gauss積分で直接計算できる例以外知られていないのが、現在の研究の状況である。
研究代表者は、平成３０年度に行った研究において、「時間連続的な位置測定の影響を受けたスピン粒子の、遷移振幅を表すFeynman経路積分」の収束を証明した。この結果から、具体的な遷移振幅をFeynman経路積分から計算できることが明らかになった。又、Feynman経路積分を数値計算することで得られる結果の妥当性も明らかになった。証明では、擬微分作用素に関するCalderon-Vaillancourtの定理を精密化した結果(Zworski 2012)を用いる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
交付申請書に記載したように、平成３０年度の実施計画は、時間連続的な量子測定理論のFeynman経路積分による定式化であった。平成３０年度の目標は、時間連続的な位置（量子）測定の影響を受けたスピン粒子の、遷移振幅を表すFeynman経路積分の収束の証明を行い、続いて速度測定の影響を受けた粒子の、最後にエネルギー測定の影響を受けた粒子の、遷移振幅を表すFeynman経路積分の収束の証明を行うことであった。
上記研究実績概要で述べたように、平成３０年度においては、位置測定に関する結果のみしか得られなかった。これが、現在までの研究の進捗状況である。
速度測定とエネルギー測定を表す Feynman経路積分は、位置測定のFeynman経路積分（配位空間経路積分）とは異なる、所謂位相空間経路積分を用いなければならない。この場合に、擬微分作用素の有界性定理であるCalderon-Vaillancourtの定理を精密化した結果(2012)が成立するかが明らかでない。これが、研究がやや遅れている理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成３１年度は、時間連続的な速度（量子）測定、又エネルギー（量子）測定の影響を受けたスピン粒子の、遷移振幅を表すFeynman経路積分の収束の証明”を行う。
擬微分作用素の有界性定理であるCalderon-Vaillancourtの定理を精密化した結果(2012)が、位相空間経路積分にも適用できる形で、成立することを示すのが目標となる。この結果を用いて、上記の研究課題を達成する。
これらの研究目標達成の為に、外国で開催される国際研究集会、東京大学、京都大学、大阪大学等に出張して研究情報の収集を行う。
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