2018 Fiscal Year Research-status Report
準線形楕円型偏微分方程式の解構造への変分的アプローチ
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18K03362
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
足達 慎二 静岡大学, 工学部, 教授 (40339685)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴田 将敬 東京工業大学, 理学院, 助教 (90359688)
渡辺 達也 京都産業大学, 理学部, 教授 (60549749)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 準線形楕円型方程式 / 半線形楕円型方程式 / 正値解 / 一意性 / 漸近挙動 / 変分解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
未知関数のべき乗に対するラプラシアンを含む準線形楕円型偏微分方程式に関する研究を推進した。この方程式の正値解の一意性に関する研究成果として，スカラー場型半線形楕円型方程式の正値解の一意性に対する既存の研究結果を拡張し，この拡張した結果を双対アプローチによって変換した半線形楕円型方程式に直接適用することにより，方程式に含まれるパラメータや非線形項の増大度に対する制限なしに正値解の一意性を示すことができた。さらに準線形項をより一般化した方程式に対しても正値解の一意性を示すことに成功した。正値解の一意性についてはパラメータや非線形項の増大度などに制限を付けた部分的な解決しかなかったが，本研究により完全解決した。これらの研究成果をまとめた論文は Acta Math. Sci. Ser. B に掲載された。
また，パラメータを 0 に近づけた時の正値解の漸近挙動について，特に非線形項の増大度が Sobolev 臨界の場合について研究を行った。非線形項の増大度が Sobolev 劣臨界の場合はスカラー場型半線形楕円型方程式からの摂動として捉えることができる。一方，Sobolev 優臨界の場合は爆発現象が起こることが知られている。これらに対して Sobolev 臨界の場合は準線形項から決まる方程式の斉次性と非線形項のそれがつり合うケースとなっており，それ故，漸近挙動の解析は長らく未解決であった。本研究では試験関数のエネルギー評価をより精密に行うことにより，正値解を適切に自己相似変換したものが Talenti 関数に収束することを示すことに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
準線形楕円型方程式を中心に研究を進め，当初の研究実施計画通り正値解の一意性や漸近挙動について一定の成果を上げることができた。また，付随的に半線形楕円型方程式の正値解の一意性に対する従来の研究結果を拡張することができ，楕円型方程式の定性理論の構築に寄与できたと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
正値解の漸近挙動に関して，4 次元以上の場合と比べて，空間 3 次元では一部エネルギー評価の甘い部分があるので，3 次元においても 4 次元以上の場合と同等のエネルギー評価が得られるように試験関数のさらなる精密化に取り組む。さらにパラメータの符号を変えた準線形楕円型方程式についても，正値解の存在，一意性，漸近挙動などの問題に注力する。また，これらの結果を準線形 Schrodinger 方程式の定在波解の軌道安定性理論へ応用することについても検討を開始したい。
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| Causes of Carryover |
申請時よりも交付決定額が減額されていたので，それに伴い研究計画の変更を行い，海外出張や備品購入の一部を取りやめたため次年度使用額が生じた。適切に研究計画を変更したので，予算規模は縮小されたものの当初計画した通りの結果を得ることができた。次年度使用額は国内出張（研究打合せ）の一部として使用し，研究をさらに推進させるつもりである。
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Research Products
(4 results)
