2020 Fiscal Year Research-status Report
準線形楕円型偏微分方程式の解構造への変分的アプローチ
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18K03362
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
足達 慎二 静岡大学, 工学部, 教授 (40339685)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴田 将敬 東京工業大学, 理学院, 助教 (90359688)
渡辺 達也 京都産業大学, 理学部, 教授 (60549749)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 楕円型方程式の可解性 / 増大度条件 / 特異摂動問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究対象である未知関数のべき乗に対するラプラシアンを含む準線形楕円型方程式と関連が深い半線形楕円型方程式の可解性について研究を行い，方程式に含まれる非線形項に対して局所的な条件（原点付近での挙動に関する条件）のみを課し，正値解の存在を示した。特に遠方での増大度条件を仮定していないので，非常に広いクラスの半線形楕円型方程式に対して可解性を示すことができた。研究対象である準線形楕円型方程式は一般化双対アプローチを用いて方程式を半線形楕円型方程式に変換して解析を行うが，このとき今年度研究を実施した半線形楕円型方程式の可解性に関する研究結果を適用して，準線形項の一般化に繋げることができる。特に準線形項の符号を負から正に変えても可解性が得られる目途が立った。
また，一般化双対アプローチを用いて準線形楕円型方程式を半線形楕円型方程式に変換すると遠方で劣線形の増大度を持つ半線形楕円型方程式が現れる場合があるが，これと関連して劣線形の増大度を持つ半線形楕円型方程式の特異摂動問題についても研究を行った。優線形劣臨界の増大度を持つ半線形楕円型方程式の特異摂動問題についてはその可解性や正値解のピークの位置とポテンシャルの形状との関係性など非常に多くの研究成果があるが，劣線形の増大度を持つ半線形楕円型方程式の特異摂動問題についてはそれらの多くが未解決である。今年度はエネルギー最小解はコンパクトサポートを持つことを示した。この研究成果は優線形劣臨界の場合とは全く異なる結果であり，マルチピークを持つ高エネルギー解の構成に重要な知見をもたらす。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
半線形楕円型方程式の解析でいくつかの大きな進展を得ることができ，これらの研究成果を準線形楕円型方程式の研究に適用する目途がついたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今回得られた半線形楕円型方程式の可解性に関する研究成果を適用して，研究対象である準線形楕円型方程式に含まれる準線形項にかかる係数が正の場合について，可解性，一意性，漸近挙動について研究を進める。このうち，可解性については今年度得られた研究成果を適用できる目途が立っているが，正値解の一意性やその漸近挙動についてはこれまでに得られた研究成果をもう一度見直し，証明方針を練り直すつもりである。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた主な理由は感染症拡大対策のため，研究打ち合わせによる出張をオンラインでの打ち合わせに切り替えたためである。また，出張を予定していた研究集会の多くがオンラインでの開催になった。これらの研究集会が次年度に対面で開催されるならば，その出張旅費として使用する計画である。
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