2021 Fiscal Year Research-status Report
準線形楕円型偏微分方程式の解構造への変分的アプローチ
| Project/Area Number |
18K03362
|
|---|
| Research Institution | Shizuoka University |
|---|
Principal Investigator |
足達 慎二 静岡大学, 工学部, 教授 (40339685)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴田 将敬 名城大学, 理工学部, 准教授 (90359688)
渡辺 達也 京都産業大学, 理学部, 教授 (60549749)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 半線形楕円型方程式の可解性 / 増大度条件 / アプリオリ評価 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き今年度は半線形楕円型方程式の正値解の存在について研究を行った。特に原点付近でのみ増大度の仮定を課し，無限遠方での増大度条件を全く課さない局所的に優線形な非線形項を持つ半線形楕円型方程式に対して，群作用不変正値解の存在について研究を行った。この半線形楕円型方程式に対する研究は本課題の研究目的である準線形楕円型方程式のさらなる一般化へ向けた基礎研究であり，準線形楕円型方程式の解構造に関する研究を進展させるために必要不可欠なものである。通常，非線形項に対して無限遠方での増大度を課さない場合，その方程式の可解性に対して変分的手法を直接適用して解析することはほぼ不可能である。本研究ではまず非線形項を適切に修正し，修正方程式に対して変分的手法を適用して正値解の存在を示し，次いで，修正方程式の解のアプリオリ評価を導出した。さらにこのアプリオリ評価を用いて，方程式に含まれるパラメータが十分に大きい場合，修正方程式の解が元の方程式の解となることを示した。このように一旦方程式を既存の臨界点理論が適用可能なように修正し，そこで得られた解が元の方程式の解であることを示す手法はよく用いられるものであるが，修正方程式と元の方程式との関係性についてはその都度，詳細な解析が必要となる。本研究では臨界値のアプリオリ評価とMoserの反復法を組み合わせることにより，この関係性を明らかにすることができた。ここで得られた解のアプリオリ評価は準線形項をさらに一般化した準線形楕円型方程式の正値解の構成に重要な知見をもたらす。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
半線形楕円型方程式に対する研究で大きな成果を得ることができた。しかし，本年度は証明の詳細を完成させることまではできたが，本来の進捗目標は半線形楕円型方程式に対する研究成果を準線形楕円型方程式へ応用することであった。一部については基礎計算を通して応用の目途が立っている状況であるが，総合的にはやや遅れていると判断した。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今回得られた半線形楕円型方程式の可解性に関する研究成果を適用して，研究対象である準線形楕円型方程式に含まれる準線形項にかかる係数が正の場合について，可解性，一意性，漸近挙動について研究を進める。可解性については双対変分構造を用いて準線形楕円型方程式を半線形楕円型方程式に変換する際，非線形項もそれに応じて修正を加える。
この修正変換された半線形楕円型方程式に対して，今回得られた研究成果を適用することが可能となり，結果として準線形楕円型方程式の可解性を示すことができる。
|
| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた主な理由は新型コロナ感染症拡大対策のため，研究打合せのための出張をいくつか取りやめ，オンラインでの打合せに切り替えたためである。また，研究集会の多くがオンラインでの開催になったことも理由の一つである。この次年度使用額は打合せ出張の回数を増やしてその分の出張旅費として使用する計画である。また，研究集会が対面で開催されるならば，その出張旅費としても使用する計画である。
|
Research Products
(3 results)
