2023 Fiscal Year Annual Research Report

Variational approaches to some class of quasilinear elliptic equations

Research Project

Project/Area Number	18K03362
Research Institution	Shizuoka University
Principal Investigator	足達慎二静岡大学, 工学部, 教授 (40339685)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	柴田将敬名城大学, 理工学部, 准教授 (90359688) 渡辺達也京都産業大学, 理学部, 教授 (60549749)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2024-03-31
Keywords	非線形楕円型方程式 / 変分解析 / 可解性 / 漸近挙動
Outline of Annual Research Achievements	今年度は Berestycki-Lions 型の半線形楕円形方程式の可解性について研究を行った。特にソボレフ臨界増大度を持つ一般の非線形項を考え，その解構造を Brezis-Nirenberg 型のコンパクト性の議論を用いて解析した。新たなカットオフ関数を導入したことにより詳細なエネルギー評価が可能となり，その結果として，特に空間 3 次元と 4 次元の場合において，従来よりも広いクラスの非線形項に対して正値解の存在を示すことができた。研究期間全体では，未知関数のべき乗に対するラプラシアンを含む準線形楕円形方程式の可解性，一意性，解の漸近挙動などの解構造に関する研究と関連するシュレディンガー型半線形楕円形方程式の解構造の研究を行い，様々な知見を得ることができた。準線形楕円形方程式については特に非線形項の増大度がソボレフ臨界の場合において，正値解の漸近挙動の解析を行った。非線形項の増大度がソボレフ劣臨界の場合はスカラー場型半線形楕円型方程式からの摂動として捉えることができる。一方，ソボレフ優臨界の場合は爆発現象が起こることが知られている。これらに対してソボレフ臨界の場合は準線形項から決まる方程式の斉次性と非線形項のそれが釣り合うケースとなっており，それ故，漸近挙動の解析は長らく未解決であった。本研究では試験関数のエネルギー評価をより精密に行うことにより，正値解の漸近的プロファイルを完全解明することができた。シュレディンガー型半線形楕円形方程式については非線形項の増大度と可解性の関係について研究を行い，増大度が劣線形の場合，ソボレフ臨界の場合，増大度を全く課さない場合など，様々な仮定のもとで解構造を解明することができた。