2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K03363
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
菱田 俊明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60257243)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非圧縮粘性流 / Navier-Stokes方程式 / 外部問題 / 漸近挙動 / 発展作用素 / 時間周期解 / 安定性 / 最適制御 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元空間または２次元平面の中に運動する剛体があるとして、空間次元および運動の状態に応じた解（定常解、時間周期解）の空間無限遠での減衰構造、またその解の安定性やattainabilityを擾乱の長時間挙動と共に明らかすることは本研究の主題のひとつである。この主題について、本年度に研究代表者が公表した成果は以下のとおりである。時空漸近挙動が論点であるとき、２次元流のほうが３次元流よりも格段に難しい理由が幾つかあり、特に定常流に対するStokesのパラドックスはまず挙げなくてはならない困難である。障害物の回転の効果によってStokesのパラドックスが解消されることは研究代表者の2016年発表の論文の成果であったが、異なる視点からそれを再度証明すると共に、線型化方程式の解の新しい評価を求めた。さらに、その評価を効果的に用いて、スケ一ル臨界な減衰度をもつNavier-Stokes流の空間無限遠での漸近展開を導出し、特にそのleading項の形を明らかにした。次に、２次元を除くいかなる空間次元であっても、障害物の並進運動の周りでの線型化によって得られるOseen半群の時間減衰評価について、従来の証明よりも平易な別証明を与えた。この証明方法の特徴はresolventを使わないことであり、従って線型化方程式が非自励系であっても解析を進められる。実際、主流が時間依存である場合への応用として、障害物の時間周期的な並進運動から決まる時間周期解のattainabilityを示した。ところで、障害物の振動の仕方は様々であるが、時間周期解の一意存在を許すための条件は先行研究において限定的なものであった。本研究では研究代表者自身による発展作用素の減衰評価を援用して、並進の方向と回転軸の方向が全く一般な状況のもとで３次元時間周期解の存在と一意性を証明し、その空間無限遠での漸近挙動を詳しく調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非圧縮粘性流体の中の物体の運動の制御と安定性の数学的解明、また関連する諸問題の数学的基礎を与えることを研究目的としている。制御や安定性と関わる問題として、定常解および時間周期解の空間無限遠での減衰構造、それらの主流まわりでの線型化作用素の解析は代表的なものである。主流が定常解のときはスペクトル解析が中心となる一方で、主流が時間周期解をはじめとする時間依存な流れの場合には、スペクトル解析の代替として研究代表者が2020年発表の論文で提示した新しい方法があり、そのアイデアは本年度の研究でも大いに活用されている。実際、そのような解析の応用によって、先行研究をすべて包括する最も一般な剛体の振動に対して時間周期解を一意的に構成した。この解は小さい擾乱に対して安定であると共に、適当な条件のもとで空間無限遠での各点減衰評価を持つものである(専門誌で査読中、またarXiv:2203.14778で公開中)。特にwake regionを有するための十分条件を提示できたことは意義深い。また、得られた時間周期解に対するFinnのstarting問題について、これが肯定的に解決される場合にその周期解はattainableであるといい、安定性の証明よりもさらに繊細な議論を要するが、剛体がスピンはせずに振動し、時間周期的な並進運動の一周期での平均がゼロであるときに時間周期解のattainabilityを示すことができた。より一般な剛体の振動から決まる周期解のattainabilityは今後の課題としたい。２次元平面流については、時間周期解の特別な場合とみなせる定常解の深い研究をまず要するが、Stokesのパラドックスを解消する何らかの機構を手がかりとするほかなく、回転運動がそのような機構となりうることを非線型問題の解の空間無限遠での漸近展開を通して示したことは今後の研究の展開に示唆を与えるものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究課題として最も重要なものは、流体と剛体の相互作用の解析である。研究代表者が2020年発表の論文において定常的なself-propelled運動の境界上での最適制御問題を考察したが、そこで得られた解の安定性およびattainabilityは未解決である。そもそも、一般な形状の剛体運動の周りでの時間大域解の一意存在に関する先行研究は、有限時間爆発を防ぐような解のアプリオリ評価によるもので、解の長時間挙動には何も答えていない。これまでのところ、時間大域解の漸近挙動についてのただひとつの成果は剛体が球体の場合であって、しかも主流は自明解に限られる。Tucsnak氏らによって近年得られたその成果はmonolithic approachに従い流体と剛体両者の運動方程式を一体でとらえたうえで線型化方程式の解（fluid-structure半群）の減衰評価に基づくもので、線型のレベルでは球体に限る必要はないが、非線型方程式を解く際に回転運動がもたらす重要な非線型項があると立ち行かない。研究代表者が開発した非自励系に対する解析方法はこの困難に正面から取り組んで克服する方法を示唆しており、成功すればfluid-structure相互作用の安定性理論の構築につながるものである。また、研究代表者のその方法は空間３次元では機能するが、２次元平面流に対してはそのままの形では働かない。そこで、fluid-structureへ進む以前にいったん流体の運動方程式を切り離して非自励な線型化方程式が生成する発展作用素の長時間挙動を考察する。典型的な場合は時間周期解周りでの線型化であるが、定常解周りに限っても安定性が示されているのは定常的な並進運動の場合についての近年の研究だけであり、剛体が回転する場合の解析を本研究で得られた定常解の空間無限遠での漸近展開の主要項に注目して進めたい。
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| Causes of Carryover |
感染症による社会状況のため、出席予定であった国際会議および研究集会がすべて、中止またはオンライン開催となった。次年度は状況が終息し、正常に集会が対面で行われることを期待している。
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Research Products
(8 results)
