2020 Fiscal Year Research-status Report
Challenges to unexplored fields of research on the Cauchy problem for systems of quasi-linear wave equations--large-time behavior and regularity of solutions--
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18K03365
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| Research Institution | Mie University |
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Principal Investigator |
肥田野 久二男 三重大学, 教育学部, 教授 (00285090)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | weak null condition / 時間大域解 / 非線形波動方程式系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
二本のうちの一方の方程式のみが導関数の2乗の非線形項をもつような非線形波動方程式系に対する初期値問題を考察した. このような方程式系は弱零条件(weak null condition)を満たす非線形波動方程式系から, 解析が困難になる箇所のみを取り出して単純化した際に現れる. この方程式系に対して, 小さな初期値を与えるときの時間大域解の存在と非存在に関する成果を得た. 3次の非線形項が臨界べき（小さな初期値に対する時間大域解の存在側に属する）になっているという意外な事実を明らかにした.
つぎに, この単純化された方程式系に対する考察をもとに, 元々関心があった非線形波動方程式系の研究を行った. 空間3次元において, 臨界べきである2次の非線形項で零条件(null condition)を満たさないようなものが含まれている点と上述の3次の臨界べきが混在している点の2点がこの非線形波動方程式系の解析を困難にしていたことを解明した. そしてこのことが, 従来の方法では合理的な条件下においても, 時間大域解の存在を小さくなめらかな初期値に対して示すことが出来ないでいた理由だと分かった. 上述の単純化された方程式系に対する解析で見いだされた工夫（Li-Zhou型評価式が役立つ）を既存の手法（Alinhacのghost weightの方法がとりわけ役立つ）と融合させることで, 時間大域解の存在に関して新しい結果を得た.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
未知関数自身の3乗のような3次の項をもつ場合に, 零条件(null condition)は満たさないが弱零条件(weak null condition)は満たしているような非線形波動方程式系の初期値問題に対する時間大域解の存在に関する先行研究は皆無だったと思われる（見落としているかも知れないが）. 1979年の有名なJohnの論文で得られている古典的結果と比べると, 3次の項は比較的扱いやすいと思われそうである. しかしながら, 一方の方程式が導関数の2乗という臨界べきの項をもつために, 3次の項は単なる小さな摂動とは見なせないことを解明したことは大変に意外な成果であると思う. このように, 研究開始当初には全く予期しなかった成果を挙げるところまで研究が進展した.
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| Strategy for Future Research Activity |
同様の問題が空間2次元の場合にも考えられるが, 2次, 3次, 4次の項に対する条件が複雑に絡み合うためにすっきりとした結果を得ることは本年度中にはできなかった. 言い換えると, 何か未解明の事実が埋もれているのかも知れない. 条件を整理しつつ研究を進めて, 最良の結果を目指す.
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のために, 当初に予定していた対面での共同研究や研究発表が一切出来なくなってしまったために次年度使用額が生じた. 対面での共同研究と研究成果の発表に使用する予定である.
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Research Products
(2 results)
