2021 Fiscal Year Annual Research Report
Challenges to unexplored fields of research on the Cauchy problem for systems of quasi-linear wave equations--large-time behavior and regularity of solutions--
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18K03365
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| Research Institution | Mie University |
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Principal Investigator |
肥田野 久二男 三重大学, 教育学部, 教授 (00285090)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | semilinear wave equation / Cauchy problem / global existence / critical regularity / Strichartz estimate |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和3年度には, 未知関数とその1次導関数に依存する3次以上の項を持つ半線形波動方程式の初期値問題を空間3次元の場合に考察した. 初期値の重み付きソボレフ型ノルム（なめらかさの指数はスケール臨界値より少なくとも1/2大きい）が十分に小さいとき, この問題が一意的な時間大域解を持つことは, ChristodoulouとKlainermanによって1986年に独立に得られていた定理から直ちに分かる. しかし, スケール臨界のソボレフ型ノルムが十分に小さいという仮定の下では, 未知関数自身の3乗とか1次導関数の3乗など特別な場合に, Strichartz型評価式を駆使する方法による時間大域解の存在が知られているものの, それらが混在するような一般的な3次以上の非線形項の場合には未解決である. この問題の困難な点は, 単位球面上のラプラス・ベルトラミ作用素の分数巾と通常の|D|の分数巾が共存するようなノルムを使って, 関数の積や合成を無駄なく評価することにある. 臨界ソボレフ空間よりもやや高い（とはいえ, 既存の結果のなかでは最も低い）なめらかさのソボレフ空間から小さな初期値を選ぶとこの難点は回避でき, 時間大域解が得られることが分かった. 方程式と初期値が空間変数の原点に関して球対称である場合には, ラプラス・ベルトラミ作用素は必要なくなって, スケール臨界のソボレフ型ノルムが十分に小さいという仮定の下で時間大域解を得ることができることも分かった. 一般の場合と球対称の場合とで, 初期値が属するソボレフ空間のなめらかさに差異がある. これが本質的なのか, 単に技術的な理由によるものなのか, 今後も考えていきたい.
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Research Products
(5 results)
