2020 Fiscal Year Research-status Report
複素力学系の分岐によるパラメータ空間の構造の研究とその可視化
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18K03367
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
稲生 啓行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (00362434)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 複素力学系 / くりこみ / ヴァーチャル・リアリティ / 4次元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
くりこみの逆操作，つまり，基本となる(双曲型などの良い)1変数複素力学系を与えたときに，その(いくつかの)単連結な双曲成分の閉包のかわりに別の力学系を持ち，それ以外の部分では同じ力学系を持つものをチューニングという．正確には双曲成分の閉包の部分を，対応する次数の，連結なJulia集合を持つような多項式とハイブリッド同値なものに置き換えるものである．3次以上の多項式で軌道が無限遠に発散する臨界点を持つ場合に，擬等角手術によるチューニングの構成法を与えた．また，双曲型の有理関数で，単連結な双曲成分たちが多重連結な双曲成分たちによって分離されているものを2種類構成し，そのいくつかの双曲成分においてチューニングができることがわかった (Yimin Wangとの共同研究)．
複素2次元(実4次元)のバーチャル・リアリティ(VR)を用いた可視化に関しては，以前松本・小川らと作成した Polyvision を最新の環境で動くように作り直し，新たに複数の4次元の回転インターフェイスを追加して実装した．インターフェイスの向上によって，新たに双二次多項式の分岐測度の台 (Mandelbrot集合の境界の1つの一般化) に「穴が開いている」ことを数値的に発見した．Mukherjee との共同研究で，分岐測度の台が放物型パラメータ集合のある部分と交わらないことを既に示しているが，この部分も「穴」に含まれている．これが数学的に正しければ，分岐測度の台が位相的に自明でないことを示している．これが計算精度不足によるものなのか，数学的に本質的なものであるかは現在研究中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Shen, Wangらによる，Thurstonの引き戻しを利用した新しい擬等角手術の方法により，今までより多くの力学系に対してチューニングができるようになった．Wangと共同で，いくつかの更に新しい例に対してもチューニングができることを示すことができた．更なる一般化や，更にこのチューニングを利用した新しい力学系の構成や，そこからわかるパラメータ空間の構造について研究を進めている．
また可視化については，4次元の回転操作の実装が既に複数あることが判明し，それらを我々のプログラムにも実装した．それによって，今までよりも直感的に操作ができるようになった．実際これによって，以前から観察していた双二次多項式の分岐測度の台を数値計算したデータに「穴が開いている」ことを発見することができた．数学的な検証はこれからだが，このような可視化が，今まで見えなかった構造を発見する為の重要なツールの1つであることは間違いない．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでチューニングは主に双曲型の多項式に対してしかなされてこなかったが，Shen, Wangによる新しいチューニングの構成法は，今までより広いクラスの力学系に対して適用できる．これがどこまで適用できるか調べたい．また関連する既知の結果をより広いクラスに対して示したり，様々な力学系の構成が楽になったりするなどの様々な応用が期待されるので，これらについて調べていく．
以前構成した無限回くりこみ可能な3次多項式の新しい例については，最近のCheraghiとPedramfarによる「毛深いカントール集合」の結果が適用できるはずであり，再帰的でない臨界点のふるまいを上手くコントロールできれば，パラメータ空間におけるこの例を含む「ファイバー」が曲線を含むことが示せる可能性がある．
バーチャルリアリティによる4次元のインタラクティブな可視化については，双二次多項式の分岐測度の台をより精密に計算し，今回見つけた「穴」が本当に開いているものなのか，精度不足でそう見えるだけなのか，数値計算・理論の両方から調べる．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で予定していた研究集会などが全てキャンセルまたはオンライン開催になり，旅費が一切不要になった．またPCやVR機器なども問題なく使用できていたため，2020年度はほとんど経費を使用する必要がなかった．
2021年度は複数の海外の研究集会等への参加を考えているため，ワクチン接種等が間に合えばその為に使用できればと考えている．
2020年度に開催する予定であった国際研究集会で外国人を招聘することも予定していたが，それも延期になった，2021年度に開催できるようであれば招聘したいと考えているが，開催できるかどうかは不透明である．
現在使用しているPCやタブレットもそろそろ買い換えの時期が近付いているので，それらを更新したいと考えている．技術革新が目覚ましいバーチャル・リアリティ関連機器の購入も検討中である．
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