2019 Fiscal Year Research-status Report
分散型方程式の時空間評価と非線形問題への応用に関する研究
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18K03370
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
和田 健志 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (70294139)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 誠 山形大学, 理学部, 教授 (70312634)
北 直泰 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (70336056)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 分散型方程式 / 適切性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は Hartree-Fock 型方程式の適切性について研究した．Hartree-Fock 型方程式は量子力学的多体問題において現れる重要な方程式であり，どのような関数空間において方程式が適切になるかは興味深い問題である．本来のHartree-Fock 型方程式は3次の非線形項を持つ方程式であるが，滑らかさの低い空間における適切性の証明は困難であるため，最初のステップとして1次元における2次の非線形項を持つ方程式を考察した．代表者は大学院生の亀井氏と共同で，分散型方程式に対する時空間評価の一種であるフーリエ制限法を用い，負の指数を持つ Sobolev 空間において適切性を証明した．ポテンシャルのフーリエ成分が遠方でm次のオーダーで減衰している場合，ポテンシャル による平滑化効果により非線形項が単純な2次の場合の Kenig らによる古典的な結果と比較して，結果が m/2 だけ改善できることが分かった．
あわせて，冪乗型の非線形項を持つ非線形 Schrodinger 型方程式の適切性についても研究した．非線形項の滑らかさが低い場合，時間微分を含む Strichartz 型評価を用いることにより適切性が証明できるような冪 p の下限を低くできることが Tsutsumi, Kato らの研究により以前から知られていたが，この方法では技術的困難により p が臨界指数の場合には適用できなかった．最近の Cazenave らの研究によりこの困難が克服されつつあるが，代表者は大学院生の田畠氏と共同で Cazenave の方法を高次の Sobolev 空間の場合に拡張した．
これらの結果については今後論文としてまとめる予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的である分散型方程式の時空間評価と非線形問題への応用に関して，「研究実績の概要」に記述したとおり，一定程度の進捗が見られたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
分担者との連絡を一層密にして研究を継続するとともに，海外も含め同様の問題に興味を持つ研究者とも連携して研究に取り組む。
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| Causes of Carryover |
ほぼ予定通り使用したが，若干の残額が生じた．無理に使用するよりも翌年度予算に追加した方が有効に利用できるため翌年度分として請求する．
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