2021 Fiscal Year Research-status Report
分散型方程式の時空間評価と非線形問題への応用に関する研究
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18K03370
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
和田 健志 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (70294139)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 誠 山形大学, 理学部, 教授 (70312634)
北 直泰 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (70336056)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形Schrodinger方程式 / 適切性 / 臨界指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，昨年度までに引き続き非線形 Schrodinger 方程式の適切性についての研究を継続した。非線形 Schrodinger 方程式はレーザーの物理学や非線形変調など応用上も様々な場面で現れる重要な方程式であるが，非線形分散型方程式のプロトタイプとして数学的にも重要な研究対象である。初期値問題が適切であるとは (i) 解の存在 (ii) 一意性 (iii) データに関する連続依存性が成立することでありこれを示すことは数学的に重要な問題であると同時に数理モデルとしての妥当性を保証する上で応用上も重要である。
筆者は近年，この方程式の適切性を非線形項の滑らかさが限られる場合にできるだけ弱い仮定の下で証明することを研究してきた。非線形方程式が， Sobolev 空間 H^s においてスケール不変であるとき H^s で臨界であるといい，その取扱はでない場合と比べて著しく困難になる。非線形項が臨界の冪乗型の場合であってその滑らかさが，s に比して十分でない場合，非線形 Schrodinger 方程式の小さい初期データに対する時間大域的適切性は筆者と研究分担者である中村誠氏の共同研究によりほぼ最良と思われる形で解決している。しかし大きな初期データに対する時間局所適切性は技術的な困難から未解決の部分がかなり残されている。筆者は最近の Cazenave-Fang-Han の結果を拡張する形で s が分数の場合も含めて適切性に関する既存の結果を拡張した。その内容については，報告書に記載した学会発表において発表している。今後は内容をまとめて論文として公開する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
非線形 Schrodinger 方程式の適切性について一定の割合で研究が進展しているが，学内業務やコロナウィルスへの対応のため当初の計画に比べてやや遅れが見られる。
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| Strategy for Future Research Activity |
分担者との連絡を一層密にして研究を継続するとともに，海外も含め同様の問題に興味を持つ研究者とも連携して研究に取り組む。新型コロナウイルス感染症 影響もあり，出張して対面で研究打合せを行うことは難しい状況が続くが，過去2年間でオンラインでの教育，研究の経験を積んだのでこの経験を活かして分担者と効率的な連携をとりながら研究を推進したい。
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| Causes of Carryover |
2021年度も新型コロナウイルス感染症の影響のため，国内外を問わず出張が全くなかった。そのため，旅費として使用する予定だった予算が大幅に余った。本年度も出張が可能かどうかは不透明であるが，可能になった場合は旅費として使用する。
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