2021 Fiscal Year Research-status Report
Wave equations with variable propagation speed and its application for the global solvability of Kirchhoff equation
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18K03372
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
廣澤 史彦 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50364732)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 波動方程式 / 変数係数 / 半離散波動方程式 / エネルギー評価 / キルヒホッフ方程式 / クラインゴルドン方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
係数（伝播速度）が時間に依存する波動方程式の初期値問題のエネルギー評価、およびその手法が応用可能な以下の問題に関して研究を行った。
１．時間に依存するポテンシャルを持つクライン・ゴルドン型方程式の初期値問題の解のエネルギー評価について：本研究課題のテーマである、係数が時間に依存する波動方程式のエネルギー評価と、時間に依存するポテンシャルを持つクライン・ゴルドン型方程式のエネルギー評価の問題との間には密接な関係があり、それぞれの問題で有効であったテクニックのいくつかは、他方の、全く関係が無いようにも見える問題の解決に対して応用が可能である。具体的には、波動方程式のエネルギー評価において大きな問題となる、激しく振動する係数に対する特徴づけと、それをコントロールするテクニックは、クライン・ゴルドン型方程式に応用することによって、従来の手法では困難であった、ポテンシャルが特異な挙動をするモデルに対するエネルギー評価が可能となった。
２．伝播速度が時間に依存する波動方程式および半離散波動方程式のエネルギー評価について：１のアイディアを発展させ、クライン・ゴルドン型方程式の低周波領域のエネルギー評価で有効だった手法を、逆に、係数が時間に依存する波動方程式、および半離散波動方程式のエネルギー評価に応用した。これによって、振動する係数のキャンセレーションを考慮したより精密なエネルギー評価が可能になった。
３．キルヒホフ型の非線形半離散波動方程式の大域可解性について：本研究課題の主要なテーマの一つである、キルヒホフ型の非線形波動方程式の半離散版であるモデルの初期値問題に対して、ソボレフ空間を離散化したある種のヒルベルト空間上で、大域可解性が成り立つことを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2021年度中に、研究実績の概要2の研究成果を投稿予定だったが、計画では優先順位が低かった1の研究成果の論文執筆と投稿が必要となり、それに注力した結果、当初の目標が年度中に達成できなかった。また、一旦他の問題へ集中して改めて2の問題を見直した結果、本質的ではないか、もう少し結果を拡張できる可能性に気付いたため、それらを取り入れた研究成果を、1年遅れて2022年度中に論文として執筆予定中である。3の研究は、当初の想定とは少し異なる形で基本的な問題が解決してしまったため、2021年度中にその段階での研究成果の公表は見合せ、より一般なモデルに対して、また本質的に困難な連続モデルとの接続を考慮した関数空間の考察を加えた形で2022年度の公表へと目標を変更した。なお、上記に加え、研究の進捗状況の区分が(3)であることの最大の理由は、本研究の遂行にあたって最も重視していた、海外の研究者との研究打ち合わせ、および成果報告に伴う情報収集のために予定していた出張計画や招聘計画が、新型コロナウィルスの影響によって全てキャンセルとなってしまったためである。
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| Strategy for Future Research Activity |
概要2の研究については、【現在までの進捗状況】でも述べたように、すでに得られた結果の拡張を試み、それを含めたより一般の問題に対する結果を最終形として論文にまとめてゆく予定である。具体的には、当初連続モデルのみを対象とした考察を、半離散モデルを含む場合にまで拡張することである。これによって、2の研究における核心部分である、低周波領域における評価の精密化による全エネルギー評価の改良という成果が、より鮮明になることが期待できる。3の研究に関しては、成果の意義をよりアピールできるようにするため、キルヒホフ型半離散波動方程式の大域解が存在する関数空間として自然な形で導入されたヒルベルト空間の性質を、連続モデルで大域可解性が保証された実解析関数の空間との接続を考察してゆくことを計画している。最後に、本研究の総括として、2022年度中に予定している成果発表や研究打ち合わせのための出張や招聘計画がどれだけ実現可能か、現時点では未知数だが、可能な限り実現を試みる予定である。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は、新型コロナウィルスの影響により、予定していた国内外の学会出張、研究打ち合わせ、および研究者の招聘ができなかったためである。現時点では、日本数学会の年会および秋季総合分科会、他、国内の学会出張5件、共同研究者との研究打ち合わせのための海外出張（ドイツ）、および研究代表者が主催し2023年1月に実施予定の、偏微分方程式に関する研究集会への研究者招へいを計画している。
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Research Products
(5 results)
