2022 Fiscal Year Research-status Report
Wave equations with variable propagation speed and its application for the global solvability of Kirchhoff equation
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18K03372
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
廣澤 史彦 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50364732)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 波動方程式 / 変数係数 / エネルギー評価 / キルヒホフ方程式 / クライン・ゴルドン型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
双曲型方程式の初期値問題において、時間に依存する係数は外力となり解のエネルギーに影響する。さらに、係数の関数としての挙動や様々な性質は、それぞれ解の特定の周波数帯に強い影響を与えることが、これまでの研究からわかっている。それらを背景に、以下のような問題に対して研究を行った。
1. 半離散キルヒホフ方程式の初期値問題の時間大域解の存在性について：波動方程式の離散化において、時間変数と空間変数のうち、一方の変数のみに関して離散化したモデルである常微分方程式系を半離散波動方程式といい、本研究では特に空間変数に関して離散化した方程式を考えている。初期値問題に対する半離散波動方程式は可算無限個の常微分方程式系となるが、それを離散時間フーリエ変換すると、連続モデルの波動方程式をフーリエ変換して高周波領域をカットしたモデルとみなすことができる。そこで、従来の連続モデルの研究において低周波帯におけるエネルギー評価のために培った種々のテクニックを用いることが可能となる。これらのアイディアを、本研究代表者が線形の半離散波動方程式の初期値問題のエネルギー評価に応用した手法をベースに、半離散キルヒホフ方程式の大域可解性を証明することができた。
２．時間に依存するポテンシャルを持つクライン・ゴルドン型方程式の初期値問題の解のエネルギー評価について：時間に依存するポテンシャル係数を持つクライン・ゴルドン型方程式のエネルギー評価において、係数の激しい振動は安定性を損ない評価を困難にすると考えられている。しかし、特に低周波領域においては、係数の激しい振動が、実はエネルギーの安定性に寄与する可能性があり、そのような現象が起こるための係数に対する十分条件を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
半離散キルヒホッフ方程式の大域可解性の問題について： 非線形部分が微分可能な場合、すでに時間大域解の存在性の証明が完了している。当初はこれを主定理として論文を執筆する予定だったが、その後、証明を少し工夫することによって、非線形部分の仮定を微分可能からヘルダー連続に緩められそうなことがわかった。そこで、現在はその証明を検証し論文にまとめる準備を行っている。
時間に依存するポテンシャルを持つクライン・ゴルドン型方程式の初期値問題の解のエネルギー評価について： エネルギー評価が成り立つ結果については、既に論文として発表済みである。さらに昨年度の研究により、その証明で用いた手法を少し発展させることによって、エネルギー評価が成り立つための仮定をポテンシャル係数が満たさない場合にも、初期値にジェブレイクラス等の滑らかさを仮定すると、一般化されたある種のエネルギーの一様有界性評価が成り立ちそうなことが分かった。現在はその証明を検証中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題で設定していた問題については大部分の証明が終了し、現時点でほぼ解決済みである。最終年度では、それを論文にまとめて学術雑誌に投稿するとともに、今年度まで新型コロナウィルスの影響で制限されていた国内外の学会にも出席し、研究成果の報告を行ってゆく予定である。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は、新型コロナウィルスの影響により、予定していた国内外の学会への出張、研究打ち合わせ、および研究者の招聘ができなかったためである。次年度は、今年までに計画していた学会発表と研究打ち合わせのための海外出張（ドイツ，ブラジル）、および日本数学会の秋季総合分科会、他、国内の学会出張3件を予定している。
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Research Products
(4 results)
