2021 Fiscal Year Research-status Report

非線形放物型方程式に内在する非自己相似的特異性の分類

Research Project

Project/Area Number	18K03373
Research Institution	Naruto University of Education
Principal Investigator	関行宏鳴門教育大学, 大学院学校教育研究科, 准教授 (50728970)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	特異性 / Type II / 調和写像流方程式 / 藤田方程式 / 走化性方程式系
Outline of Annual Research Achievements	今年度は予定通り、球面に値をとる調和写像流方程式の解の考察を行い、予想通りのいくつかの結果を得た。一般に調和写像流は有限時間において特異性をもつことがある。これは写像先の断面曲率が正であることによる。この特異性の構造を詳しく調べることが調和写像流方程式に対する本研究の目的であると言える。従来の研究ではいわゆる藤田方程式と呼ばれる半線形熱方程式との数学的な類似が明らかにされてきたが、非線形構造が単純なべき乗型とはならないため、凸不等式が使えない等の技術的に困難な点が多い。そこで本研究ではいくつかの特徴的な良い性質をもつ解の典型例を構成し、一般の場合はそれらの典型例をガイドとして様々な性質を証明した。球面を地球の表面と見た場合、赤道にあたる調和写像が特異性構造の重要な鍵であることが、典型例の構成に対しては知られていたが、これは一般の解に対してもやはり重要な役割を果たすことが分かった。計画ではより踏み込んだ解の情報を得る予定であったが、予想以上にいろいろな理論的道具が必要であることが確認された。今年度末までに得られた結果だけでも論文として発表する価値はあるが、予算の最終年度繰り越しが認められたので、より詳細な結果が得られてから論文発表を行うことにした。また、藤田方程式については Lepin 指数に対して研究代表者によって前年度までに得られていたタイプII爆発解に関する結果がより一般化できることが分かった。こちらの結果を用いると、目標である一般の球対称爆発解の結果はよりすっきりとした簡明な仮定の下で述べることが出来るようなった。次年度には論文として発表することを目指している。これらの研究に加え、反発及び吸引効果をもつ走化性方程式系に対して関連する研究を行い、まとまった結果を2編学術専門誌において発表することが出来た。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 現段階で著書や論文といった文献から得られる情報と研究で分かってきた事柄を併せることで、一定の結果は得られたものの、数学研究はやはり様々な専門家との直接の討論を通して多面的に見ることによって進展するものである。オンラインでの打ち合わせや研究集会も珍しくはなくなってきたものの、情報交換としてはやりにくい面が大きかった。本研究課題の計画も大詰めを迎える状況にあり、目標の結果を得るための道具立てがほぼ集まった状況まで達した。特に調和写像流方程式の爆発解に対して、計画段階での研究結果が得られてきたので、このように判断した。
Strategy for Future Research Activity	研究実績欄に述べた「理論的道具」を非線形放物型方程式の最新の情報を参考にして構築し、調和写像流方程式に対する目標である一般の爆発解の定量的性質の解明に取り組む。計画段階にはなかったが、空間次元の低い場合に対する爆発解の性質も関連する解析手法で解明できると予想されるので、本計画と並行して研究を推進する。また、藤田方程式に関連する問題としてポテンシャル項付き非線形項をもつ優線形熱方程式が半導体デバイスの構造に関係の深いMicro Electro Mechanical Systems(MEMS)の簡易モデルとの関連で近年注目を集めている。本課題研究の遂行の過程で得られた解析手法を応用することで、興味深い結果が得られることが期待されるので、副次的なテーマとして主テーマと並行して研究を進めたい。これらの研究を様々な専門家の意見を参考にして精密化に努め、より良い形の結果にまとめて学術専門雑誌に投稿する。対面での研究交流も少しずつだが再開できるようになってきており、最終成果を論文として発表する前に多様な意見交換を行う。そのために、学会をはじめとした研究集会に積極的に参加し、情報発信に努めると共に最新の研究成果の収集を継続して行う。
Causes of Carryover	新型コロナウイルスの感染防止のため、参加を予定していた国内及び国際研究集会が軒並み延期、または中止となったため、それらに使用する予定であった旅費が残額となった。令和４年度では延期になっていたこれらの研究集会やそれに代わる研究集会等が企画され、対面での研究討論が行えそうなので、主にこれらに参加するための旅費として助成金を使用する予定である。また、関連して消耗品、文献、謝金支払い等が必要になることも予想されるため、適宜使用していく。