2022 Fiscal Year Research-status Report

非線形放物型方程式に内在する非自己相似的特異性の分類

Research Project

Project/Area Number	18K03373
Research Institution	Naruto University of Education
Principal Investigator	関行宏鳴門教育大学, 大学院学校教育研究科, 准教授 (50728970)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2024-03-31
Keywords	調和写像流方程式 / 爆発 / 特異点
Outline of Annual Research Achievements	今年度は昨年度に引き続き、球面に値をとる調和写像流方程式の解の考察を行い、いくつかの結果の改良を行った。従来の研究ではいわゆる藤田方程式と呼ばれる半線形熱方程式との数学的な類似が明らかにされてきたが、非線形構造が単純なべき乗型とはならないため、凸不等式が使えない等の技術的に困難な点が多い。そこで本研究ではいくつかの特徴的な良い性質をもつ解の典型例を構成し、一般の場合はそれらの典型例と一般の爆発解との交点数を比べることで様々な解の定量的性質を明らかにした。球面を地球の表面と見た場合、赤道にあたる調和写像が特異性構造の重要な鍵であることが典型例に対しては知られていたが、これが一般の解に対してもやはり重要な役割を果たすことが明らかになった。特に１次元放物型方程式に対する零点数定理を適切に用いることで一般の爆発解に対して予想される鍵となる性質を確かめることができた。予算の最終年度再延長が認められたので、さらなる改良が得られてから論文発表を行うことにした。これらの研究に加え、反発及び吸引効果をもつ走化性方程式系に対して関連する研究を行い、空間次元が３以上の場合の状況が徐々に明らかにすることができた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 令和４年度は着任して２年目ということもあり、大学内における教務や委員会等の業務が初年度に比して格段に増えた。特に教職大学院で最終年度の大学院生を主指導教員として指導する必要があったため、専門外である教育学に関する文献調査を学生と共に行う必要があった。これによって研究時間の相対的な減少につながってしまったが、教職大学院に在籍している限り避けられない大切な仕事である。一方で、研究としては昨年度末の段階で一定の結果が得られていたものの、予想している結果には完全な形では到達していない。成果を論文として見える形で発表することは大切だが、長期的に見れば、時間が多少伸びても完成度の高い論文にまとめた方が価値が高いと考える。もっとも研究期間を２年延長することになるので、全体として研究が若干遅れていることは確かである。
Strategy for Future Research Activity	長く続く新型コロナウイルスの感染状況も徐々に終息の兆しが見られ、研究活動も平時のものに戻りつつある。特に、対面での研究集会の開催や研究打合せ等がかなり再開されてきたことは研究の推進に確実に良い環境であると言える。これらの機会を積極的に利用して様々な専門家と議論を深め、精密な結果を論文にまとめて学術専門雑誌に投稿する。特に代表的な発表となる日本数学会年会または秋季総合分科会における学会講演を見据え、主論文の執筆を急ぐ。
Causes of Carryover	最終年度の再度の延長を行った。主に研究成果の発表のため、研究集会等への出席に必要となる旅費として使用する予定である。