2019 Fiscal Year Research-status Report
Study on representation for solutions to PDE by elliptic functions and the related problems
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18K03374
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| Research Institution | Kyushu Institute of Technology |
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Principal Investigator |
若狭 徹 九州工業大学, 大学院工学研究院, 准教授 (20454069)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 楕円関数 / 反応拡散系 / 楕円型偏微分方程式 / 相平面解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度の研究では，（１）一般的な反応拡散系に付随する固有関数および固有値の漸近公式（北海道大学・栄伸一郎教授,北海道大学大学院・島谷晴基氏との共同研究），（２）ＭＥＭＳ方程式における定常問題の解と安定性の問題（台湾・淡江大学Jong-Shenq Guo教授ら計4名との共同研究），（３）楕円関数による一般化Chafee-Infante問題の分岐解析(大阪府立大学・菅徹氏との共同研究)の各テーマについて研究を進めた.
（１）については北大グループが放物型偏微分方程式の縮約理論をベースとする計算を行っている. これについて，何回かの研究出張を通して打ち合わせを行い，四ツ谷・若狭による先行研究を含んだ非常に簡明な一連の定理としてまとめ上げた. その研究内容に関して，米国応用数学会(SIAM)の国際会議などでの発表を行い一定の評価を得ることができた．これを受けて，論文執筆を進めている段階である．
（２）については2019年3月に台湾・淡江大学を研究訪問しJong-Shenq Guo教授と議論を行った．１次元定常問題の解の解析においてタイムマップに関する基礎的な不等式を得たのち，台湾グループがこれを発展させ，定常解の多重性および安定性に関する結果が完全に証明された．本研究結果については年度末に論文が投稿された．
（３）については楕円関数による表示式を頼りに，安定性解析の鍵となる変数の超越方程式を得ているが，問題の完全な解決には至っておらず，議論を継続している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2019年度前期に関しては研究出張を通して共同研究の進展，国際会議での発表など研究活動を精力的に行うことができ，これに伴う研究の進展を得ることができた. 一方，後期に関しては研究集会出席による情報収集や国際交流に注力した分，十分な研究時間の確保が難しく，十分な研究成果の進展を得ることが十分できなかった.
研究課題の核である楕円関数を用いた解の記述に関して,（３）一般化Chafee-Inante問題の解析を中心に行っている. これは楕円型偏微分方程式としては極めて扱いが容易なタイプの方程式であるが，安定性の完全な決定までを問題とした場合，解析計算は依然として複雑であり，新しいアイデアを導入する必要がある.
また，年度末には新型コロナウイルス感染予防策により出張等の研究計画を予定通りに遂行することができなかった.
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）の線形化固有値問題の漸近公式については満足な研究成果が得られてい. これについて論文執筆を完了し，年度内の投稿を目指す. また（３）の楕円関数による解の記述について, 進展の遅れにより分散型偏微分方程式などの幅広いクラスの方程式を考察できていない. これを拡充することを2020年度の研究目標とする. また（２）問題にの問題では，楕円関数の解析の代わりにクラシカルなタイムマップ法を現代的にアレンジした手法が用いられている. 楕円関数による解の記述について，十分な進展が見込まれない場合を考慮し，従来の非線形解析の主流である分岐解析や相平面解析とのハイブリッドにより研究を進める.
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