2018 Fiscal Year Research-status Report
Global analysis of the Kirchhoff equation
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18K03377
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
松山 登喜夫 中央大学, 理工学部, 教授 (70249712)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Kirchhoff方程式 / Gevreyクラス / 大域解 / 外部問題 / Besov空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kirchhoff方程式は, 主要部の係数が未知関数の積分で与えられた時間変数のみに依存するいわゆる非局所性をもつ準線形双曲型偏微分方程式として知られ, 国内外の多くの研究者により多大なる関心を寄せられているにもかかわらずその解析は非常に難しいことで知られている. Kirchhoff方程式の時間大域解の存在に関しては未だ完全な解決には至ってはいない. Kirchhoff方程式のGevrey級解の存在は長年にわたる未解決問題として残っている重要な問題である. 方程式の主要部が非局所的であることにより, 通常のエネルギー法では処することが出来ないところに問題の難しさがある. 今年度次の結果に関する論文が J. Anal. Math. から出版された. すなわち, 時刻を任意に与えるとそれに応じた解析性をもつGevrey級解が一意的に存在する. この論文における議論は不動点定理によっている. 更に外部問題や有界領域における初期値境界値問題でも同様な結果が得られた. Kirchhoff方程式の問題以外に, ユークリッド空間内の開集合でBesov空間を定義し, ユークリッド空間で成り立つBesov空間における埋め込み定理などを証明することができた. これらの結果はフランスの雑誌 Bull. Sci. Math. から出版された. これまでのBesov空間に関するほとんどの研究はユークリッド空間におけるものであったが, 我々の結果は微分可能性を持たない境界をもつ一般の開集合でBesov空間を定義てきた点に意義があるものと考えられ, 今後の領域上での偏微分方程式の可解性などに大変有用な結果である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Kirchhoff方程式の時間大域解の存在に関し, 2018年度にKirchhoff方程式の解の lifespanの構造の解明, 特にそのノルムの連続依存性や位相的性質の解明を行ったが, 未だ時間大域解の存在証明にうまく噛み合ってはいない.
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| Strategy for Future Research Activity |
当初計画していたlifespanの性質を利用する視点を見直すことも検討している. 原点に戻り, 時間に依存する係数をもつ線形双曲型偏微分方程式の解の振動する状況を調べることを考え, この現象を時間大域解の存在にどのような影響を持っているかを調べることも視野に入れている.
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