2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K03382
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 名誉教授 (30119656)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内田 俊 早稲田大学, 理工学術院, 助教 (60777986) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線型境界値問題 / 集合値項を持つ偏微分方程式 / 強消散項を持つ波動方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 従来型のディリクレ型やノイマン型を含む非線形境界条件を持つ放物型方程式系の解に対する新たな比較定理の枠組みを構築した．従来の比較定理では，比較する二つの解は常に同じ境界条件を満たす枠組みで論じられてきたが，この新たな枠組みにより，異なる境界条件に従う二つの解の比較が可能になったことは，非線形放物型理論における大きな進展であり，今後の様々な方面への応用が期待される．
(2) 非消散型の非線形境界条件を持つ非線形放物型方程式の時間大域解は，時間に関して一様有界になることが示された．ディリクレ型境界条件下ではよく知られていた事実が，非線形境界条件に対しても確認された事は異議深い．
(3) 主要項にp-ラプラシアンと極大単調作用素を有し，摂動項が上半連続または下半連続な集合値項である準線形放物型方程式に対して，初期値や外力項の大きさに制限を設けない場合及び十分小さいという条件下の場合に対して時間大域解の存在を示した．この問題は，非線形項が一価となる古典的な方程式に対しても長年，未解決のまま残されていた．新たな手法により解決された意義は大きい．
(4) 解の時間微分にLaplacian のα次分数冪を作用させた強消散項を持つ波動方程式が，エネルギークラスの初期値に対して，瞬時に s = max {1/2α,1/2(1-α)}次のGevreyクラスに属するという平滑化現象が報告者とHaraux氏の挙動研究によって示されていたが，これらの結果が最良であるという事実が，巧妙な反例を構成することによって初めて示された．この結果により，上記の方程式の解が実解析的になるのは，α=1/2の時に限る事が導かれ，αが増大すれば，放物型性も増すであろうという従来の予想を覆す放物型性に関する新たな知見が得られた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルスの世界的蔓延のため，国内出張・海外出張が不可能となり，国内外の研究協力者との研究連絡が困難な状況が続いているため，当初予定していた研究計画に遅延が生じている．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1)非線形境界条件をもつ非線形放物型方程式系に対する比較定理を以下の問題に対して応用する．(a) 時間大域解の存在と非存在をわける臨界境界条件の探求(b)非線形境界条件下の爆発解の存在を，爆発解の存在が良く研究されている斉次ディクレ境界条件下の解との比較定理を構築することによって示す．
(2)集合値項をもつ放物型方程式の可解性を従来のL2空間の枠組みの理論をL∞空間の枠組みに拡張することで，集合値項に課していたソボレフ劣臨界増大度の条件を外すことを目指す
(3)強消散項を持つ波動方程式を包含する，Gevrey クラスの平滑化現象を発現する抽象的枠組みを，発展方程式論の立場から構築する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの国際的な蔓延により，国内・海外出張が実質的に禁止され，予定していた研究連絡のための出張予算が執行できなかった．
国内・海外への往来が可能になり次第，来年度以降，当該予算を使い国内外の研究協力者との研究連絡を密にして，研究計画の遅延を取り戻したい．
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