2018 Fiscal Year Research-status Report
Research on minimization problem related with stabilizing effect for standing waves caused by non-local interaction
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18K03383
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
渡辺 達也 京都産業大学, 理学部, 教授 (60549749)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線形解析 / 変分問題 / 楕円型偏微分方程式 / 安定性解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、プラズマ物理学においてsuperfluid film方程式として導出される準線形シュレディンガー方程式の定常問題の解構造（一意性・多重性・漸近的プロファイルなど）を解析した。今年度の具体的な研究実績は以下の通りである。１つ目の結果は、半線形楕円型微分方程式における一意性・非退化性に関する既存の結果を、非線形項が劣線形の場合まで含まれるように拡張し、定常問題として現れる準線形方程式の解の一意性に応用したものである。本研究内容は足達慎二氏・柴田将敬氏との共同研究として学術雑誌「Acta Mathematica Scientia」に掲載された。また、2つ目の結果として、非線形項がソボレフ臨界指数の場合の解の漸近挙動を考察した。この結果も学術雑誌に掲載が決定している。
他にはボルドー大学のMathieu Colin氏と共同で、磁場と相互作用する粒子の運動を記述するシュレディンガー・マックスウェル方程式やクラインゴルドン・マックスウェル方程式における初期値問題の可解性、定常問題のエネルギー最小解の存在および定在波解の安定性に関する研究を行い、その成果の一部は学術雑誌に掲載されている。特に学術雑誌「Nonlinearity」に掲載された我々の論文が2017年度の「Journal’s Highlights collection」に選出された。
さらにバーリ工科大学のAlessio Pomponio氏とボルン・インフェルト型微分方程式の共同研究を行い、研究成果は学術雑誌「Indiana University Mathematics Journal」に掲載された。また、バーリ工科大学のPietro D'Avenia氏、Alessio Pomponio氏と2次元Chern-Simons方程式に関する共同研究を行い、こちらの研究結果も学術雑誌に掲載が決定した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の全体的な目標は、非局所相互作用が定在波の安定性に対してどのように寄与するかを解明することである。これまで研究してきた準線形シュレディンガー方程式は、ある非局所問題の極限として得られるものであり、今年度の結果によって定常問題の解構造がほぼ解明された。この結果によって、次の段階として考察したい、極限を取る前の非局所問題を解析する準備が出来つつあると考えている。
また、シュレディンガー・マックスウェル方程式系も非局所的な相互作用を持ち、今年度の成果によって初期値問題の可解性や、対応する最小化問題の相互作用が小さい場合の可解性が得られた。次のステップとして、相互作用が大きい場合の最小化問題を考察することで、現れるラグランジュ乗数の詳しい情報が得られると期待しており、それが非局所相互作用の安定化効果の解明につながる。したがって、本研究の目標に向けて着実に研究が進んでいると考えている。
さらに、ボルン・インフェルト型微分方程式の研究、2次元Chern-Simons方程式の研究など、今後の研究テーマにつながるような新規研究も始めることが出来た。以上の理由により、研究計画はおおむね順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に得られた結果を下に、非局所相互作用による定在波の安定化効果の解析を行う。今年度に引き続き、足達慎二氏・柴田将敬氏を研究協力者として研究を行う。本研究を推進するため、研究協力者と定期的に研究打ち合せを行う。海外の共同研究者とはメールを通じて連絡を取り合うが、余裕があれば日本への招へい、共同研究者が所属する大学への渡航も行いたい。また、国内の研究集会に積極的に参加し、様々な研究者と積極的に情報交換を行う。同時に、今年度と同様にＫＳＵ非線形解析セミナーを主催し、情報収集および共同研究のきっかけを作っていきたい。
また、研究代表者がこれまで行ってきた反応拡散系方程式や固有値最適化問題をより深く研究するために、今後は数値解析も積極的に取り入れていきたい。そのために次年度は京都産業大学の西慧氏、研究協力者である東北大学の西浦康政氏と反応拡散系の数値解析に関する情報交換を行う。また、研究協力者であるアイシンAWの井手貴範氏と固有値最適化問題や楕円型微分方程式の数値解析の共同研究を開始したいと考えている。
さらに、次年度はＫＳＵ非線形解析セミナーの拡大版として、ワークショップ「Workshop on reaction-diffusion equations and numerical analysis」を京都産業大学で開催する。また、スペインで行われる国際会議「ICIAM2019」で招待講演を行うことが決まっている。
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