2018 Fiscal Year Research-status Report
Semiclassical Analysis of Schroedinger equations
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18K03384
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
藤家 雪朗 立命館大学, 理工学部, 教授 (00238536)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 準古典解析 / 超局所解析 / シュレディンガー方程式 / 量子共鳴 / 固有値の漸近分布 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２０１８年度は，主に次の２つの課題を研究した．
（１）エネルギー交差を持つ一次元シュレディンガー方程式系の量子共鳴の半古典極限における漸近分布
（２）非自己共役なDirac作用素の固有値の半古典極限における漸近分布
（１）はA.Martinez, 渡部との共同研究で，エネルギー交差レベルより高いレベルにおいて，超局所解析の手法を用いて量子共鳴の漸近分布を明らかにした．２０１７年度までの同研究課題の研究によって，エネルギー交差レベルの近傍における量子共鳴の漸近分布が明らかにされており，今回はそれを補完する研究である．エネルギー交差レベルでの研究においては，真の解を交差点の両側でそれぞれ構成し，それらのロンスキアンを計算することよって量子共鳴の量子化条件を得ることができたが，今回のエネルギー交差レベルより高いレベルでは，同じ方法では量子共鳴の分布の粗い評価しか得られない．しかし，解の特性曲線の上での超局所的な解析を加えることによって，より精度の高い分布を得ることができた．相空間上では，交差点は非退化な双曲型不動点である．
（２）はS.Kamvissisとの共同研究で，非線形シュレディンガー方程式のLax対として現れるZakharov-Shabat作用素の反射係数の漸近挙動，固有値の漸近分布を，完全WKB法を用いて明らかにした．特に問題となるのは，連続スペクトルと固有値の閾値である0の近傍での固有値の漸近分布である．固有値を与えるBohr-Sommerfeldの量子化条件が有効である範囲を，原点からの距離との関係において捉えることに成功した．これにより，非線形シュレディンガー方程式のソリトン解の半古典漸近挙動の研究に貢献した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初より，超局所解析を用いた，ホモクリニック軌道が生成する量子共鳴の準古典漸近分布，行列値ポテンシャルを持つシュレディンガー作用素のエネルギー交差が生成する量子共鳴の漸近分布やスペクトルシフト関数の漸近挙動の研究，完全WKB法を用いた非自己共役な一次元ディラック作用素のスペクトル・散乱の解析を目標としてきたが，それぞれのテーマにおいて，着実に成果を生み，論文掲載に至っており，前項「研究実績の概要」で述べた研究は現在投稿中である．さらに次項「今後の研究の推進方策」で述べるように，新な研究の方向が定まっている．以上により，本研究課題は概ね順調に進展していると言って良い．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究（１）エネルギー交差を持つ一次元シュレディンガー方程式系の量子共鳴の半古典極限における漸近分布，及び（２）非自己共役なDirac作用素の固有値の半古典極限における漸近分布の成功を受けて，それらの延長線上で新たな研究に進む．（１），（２）のそれぞれの延長線上で
（３）２つ井戸型ポテンシャルを持つシュレディンガー方程式系の固有値の準古典漸近分布
（４）早く振動するポテンシャルを持つZakharov-Shabat作用素の固有値の漸近分布
を研究する．（３）はAssal, Martinezとの共同研究である．（１）と同様の超局所手法を用いることによって，固有値の量子化条件を得ることができる．特に興味深いのは，二つのポテンシャルが対称である場合に，漸近展開の主要項が重なる二つの固有値の間の距離が，二つのシュレディンガー作用素の間の相互作用によって記述される点である．（４）は，Kamvissisとの共同研究を予定している．ポテンシャルが準古典パラメータととも早く振動する場合に，分岐する曲線に沿って固有値が漸近的に分布することが，最近の数値実験などによって示されている．この事実を完全WKB法を用いて厳密解析することを目指す．非自己共役作用素において現れる独特の現象であり，近年注目を集めている問題の一つである．
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| Causes of Carryover |
次年度にパリにおいて開催予定の国際研究集会での必要経費を担保しておくために，前年度において倹約した為．
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